Задание 17 Параграф 12 ГДЗ Рабочая тетрадь 2 Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

1) 3x^2 + 4|x| — 4 < 0; 2) x|x| - 2x - 8 ? 0.

1) Рассмотрим неравенство $$3x^2+4|x|-4<0.$$

Разобьём на случаи:

• если $$x\ge 0,$$ то $$|x|=x$$ и получаем $$3x^2+4x-4<0;$$
• если $$x<0,$$ то $$|x|=-x$$ и получаем $$3x^2-4x-4<0.$$

Решим первое неравенство:

$$3x^2+4x-4=0$$
$$D=4^2-4\cdot 3\cdot(-4)=16+48=64$$
$$x_1=\frac{-4-8}{6}=-2,\qquad x_2=\frac{-4+8}{6}=\frac23.$$

Так как ветви параболы направлены вверх, то

$$3x^2+4x-4<0 \quad \text{при} \quad x\in(-2;\tfrac23).$$

С учётом условия $$x\ge 0$$ получаем:

$$x\in[0;\tfrac23).$$

Решим второе неравенство:

$$3x^2-4x-4=0$$
$$D=(-4)^2-4\cdot 3\cdot(-4)=16+48=64$$
$$x_1=\frac{4-8}{6}=-\frac23,\qquad x_2=\frac{4+8}{6}=2.$$

Следовательно,

$$3x^2-4x-4<0 \quad \text{при} \quad x\in(-\tfrac23;2).$$

С учётом условия $$x<0$$ получаем:

$$x\in(-\tfrac23;0).$$

Объединяя результаты, имеем:

$$x\in(-\tfrac23;\tfrac23).$$

2) Рассмотрим неравенство $$x|x|-2x-8\le 0.$$

Разобьём на случаи:

• если $$x\ge 0,$$ то $$|x|=x$$ и получаем $$x^2-2x-8\le 0;$$
• если $$x<0,$$ то $$|x|=-x$$ и получаем $$-x^2-2x-8\le 0.$$

Решим первое неравенство:

$$x^2-2x-8=0$$
$$x^2-2x-8=(x-4)(x+2).$$

Тогда

$$x^2-2x-8\le 0 \quad \text{при} \quad x\in[-2;4].$$

С учётом условия $$x\ge 0$$ получаем:

$$x\in[0;4].$$

Решим второе неравенство:

$$-x^2-2x-8\le 0$$
$$x^2+2x+8\ge 0.$$

Так как

$$D=2^2-4\cdot 1\cdot 8=4-32=-28<0,$$

то $$x^2+2x+8>0$$ при всех $$x,$$ значит неравенство $$-x^2-2x-8\le 0$$ верно при всех $$x<0.$$

Следовательно, для второго случая получаем:

$$x\in(-\infty;0).$$

Объединяя оба случая, имеем:

$$x\in(-\infty;4].$$

Ответ

1) $$(-\tfrac23;\tfrac23)$$; 2) $$(-\infty;4].$$