Задание 17 Параграф 8 ГДЗ Рабочая тетрадь 1 Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

Докажите, что функция $$f(x)=\frac{12}{x+3}$$ убывает на промежутке $$(-?;\,-3)$$.

Пусть $$x_1$$ и $$x_2$$ — любые числа из промежутка $$(-\infty;\,-3)$$, причём $$x_2>x_1$$. Рассмотрим разность:

$$f(x_2)-f(x_1)=\frac{12}{x_2+3}-\frac{12}{x_1+3} =\frac{12(x_1+3)-12(x_2+3)}{(x_2+3)(x_1+3)} =\frac{12(x_1-x_2)}{(x_2+3)(x_1+3)}.$$

Так как $$x_1<-3$$ и $$x_2<-3$$, то $$x_1+3<0$$ и $$x_2+3<0$$, значит $$(x_2+3)(x_1+3)>0$$.

Кроме того, из условия $$x_2>x_1$$ следует, что $$x_1-x_2<0$$.

Следовательно,

$$f(x_2)-f(x_1)=\frac{12(x_1-x_2)}{(x_2+3)(x_1+3)}<0.$$

Значит, при $$x_2>x_1$$ выполняется $$f(x_2)<f(x_1)$$, то есть функция убывает на промежутке $$(-\infty;\,-3)$$.

Ответ

Функция $$f(x)=\frac{12}{x+3}$$ убывает на промежутке $$(-\infty;\,-3)$$.