Задание 17 Параграф 7 ГДЗ Рабочая тетрадь 1 Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

1. Постройте график функции $$y=\frac{2x+1}{2x^2+x}$$ и определите, при каких значениях $$k$$ прямая $$y=kx$$ имеет с графиком ровно одну общую точку.

Область определения функции:

$$2x^2+x\ne 0$$

$$x(2x+1)\ne 0$$

$$x\ne 0,\quad x\ne -\frac12.$$

Тогда

$$y=\frac{2x+1}{2x^2+x}=\frac{2x+1}{x(2x+1)}=\frac1x,\quad x\ne -\frac12,\; x\ne 0.$$

Значит, график данной функции — это график гиперболы $$y=\frac1x$$ с выколотой точкой при $$x=-\frac12$$, то есть точкой $$\left(-\frac12,-2\right).$$

Прямая $$y=kx$$ имеет с графиком ровно одну общую точку тогда и только тогда, когда она проходит через выколотую точку, а с остальной гиперболой пересекается в двух точках, одна из которых исключена. Подставим координаты точки $$\left(-\frac12,-2\right)$$ в уравнение прямой:

$$-2=k\left(-\frac12\right)$$

$$k=4.$$

Ответ

$$k=4.$$