Задание 16 Параграф 24 ГДЗ Рабочая тетрадь 2 Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Просвещение: 16. Сумма трёх чисел, образующих арифметическую прогрессию, равна 24. Если к этим числам прибавить соответственно 2, 4 и 8, то полученные числа образуют геометрическую прогрессию. Найдите данные числа. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 9 merzlyak_wb9 24-16 95

Обозначим искомые числа через $$a_1,\ a_2,\ a_3.$$

Так как они образуют арифметическую прогрессию, то

$$a_1+a_2+a_3=24,$$

$$2a_2=a_1+a_3.$$

Из первого уравнения и свойства арифметической прогрессии получаем:

$$a_1+a_2+a_3=24,$$

$$a_1+a_3=2a_2.$$

Подставим это в сумму:

$$2a_2+a_2=24,$$

$$3a_2=24,$$

$$a_2=8.$$

Тогда

$$a_1+a_3=16.$$

По условию числа $$a_1+2,\ a_2+4,\ a_3+8$$ образуют геометрическую прогрессию, значит квадрат среднего члена равен произведению крайних:

$$\left(a_2+4\right)^2=\left(a_1+2\right)\left(a_3+8\right).$$

Подставим $$a_2=8$$:

$$12^2=\left(a_1+2\right)\left(a_3+8\right).$$

Так как $$a_1=16-a_3,$$ получаем

$$144=\left(18-a_3\right)\left(a_3+8\right).$$

Раскроем скобки:

$$144=18a_3+144-a_3^2-8a_3,$$

$$a_3^2-10a_3=0,$$

$$a_3\left(a_3-10\right)=0.$$

Отсюда

$$a_3=0 \quad \text{или} \quad a_3=10.$$

Если $$a_3=0,$$ то $$a_1=16.$$ Тогда числа:

$$16,\ 8,\ 0.$$

Если $$a_3=10,$$ то $$a_1=6.$$ Тогда числа:

$$6,\ 8,\ 10.$$

Проверим соответствующие геометрические прогрессии:

$$18,\ 12,\ 8$$ или $$8,\ 12,\ 18.$$

Ответ

$$16,\ 8,\ 0$$ или $$6,\ 8,\ 10.$$