Задание 16 Параграф 22 ГДЗ Рабочая тетрадь 2 Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

Докажите, что если числа $$a$$, $$b$$ и $$c$$ являются последовательными членами арифметической прогрессии, то значения выражений $$a^2+ab+b^2$$, $$a^2+ac+c^2$$ и $$b^2+bc+c^2$$ также являются последовательными членами арифметической прогрессии.

Так как $$a, b, c$$ — последовательные члены арифметической прогрессии, то

$$b=a+d,\quad c=a+2d.$$

Обозначим

$$x=a^2+ab+b^2,\quad y=a^2+ac+c^2,\quad z=b^2+bc+c^2.$$

Чтобы доказать, что $$x, y, z$$ — последовательные члены арифметической прогрессии, достаточно проверить, что

$$2y=x+z.$$

Вычислим:

$$\begin{aligned} x&=a^2+a(a+d)+(a+d)^2=3a^2+3ad+d^2,\\ y&=a^2+a(a+2d)+(a+2d)^2=3a^2+6ad+4d^2,\\ z&=(a+d)^2+(a+d)(a+2d)+(a+2d)^2=3a^2+9ad+7d^2. \end{aligned}$$

Тогда

$$x+z=(3a^2+3ad+d^2)+(3a^2+9ad+7d^2)=6a^2+12ad+8d^2,$$

а

$$2y=2(3a^2+6ad+4d^2)=6a^2+12ad+8d^2.$$

Следовательно, $$2y=x+z$$, значит, числа $$a^2+ab+b^2,\ a^2+ac+c^2,\ b^2+bc+c^2$$ являются последовательными членами арифметической прогрессии.

Ответ

Да, данные выражения являются последовательными членами арифметической прогрессии.