Задание 16 Параграф 8 ГДЗ Рабочая тетрадь 1 Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Просвещение: 16. Докажите, что функция f{x) = 8/(2-x) возрастает на промежутке (2; +?). *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 9 merzlyak_wb9 8-16 95

Пусть $$x_1$$ и $$x_2$$ — любые значения аргумента из промежутка $$\left(2; +\infty\right)$$, причём $$x_2 > x_1$$. Рассмотрим разность:

$$ f(x_2)-f(x_1)=\frac{8}{2-x_2}-\frac{8}{2-x_1} =\frac{8(2-x_1)-8(2-x_2)}{(2-x_2)(2-x_1)} $$
$$ =\frac{16-8x_1-16+8x_2}{(2-x_2)(2-x_1)} =\frac{8x_2-8x_1}{(2-x_2)(2-x_1)} =\frac{8(x_2-x_1)}{(2-x_2)(2-x_1)}. $$

Так как $$x_1>2$$ и $$x_2>2$$, то $$2-x_1<0$$ и $$2-x_2<0$$, значит $$ (2-x_2)(2-x_1)>0$$. Кроме того, из условия $$x_2>x_1$$ следует, что $$x_2-x_1>0$$.

Следовательно,

$$ f(x_2)-f(x_1)=\frac{8(x_2-x_1)}{(2-x_2)(2-x_1)}>0. $$

Значит, $$f(x_2)>f(x_1)$$ при $$x_2>x_1$$, то есть функция $$f(x)=\frac{8}{2-x}$$ возрастает на промежутке $$\left(2; +\infty\right)$$.

Ответ

Функция $$f(x)=\frac{8}{2-x}$$ возрастает на промежутке $$\left(2; +\infty\right)$$.