Задание 15 Параграф 22 ГДЗ Рабочая тетрадь 2 Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

1. При каком значении $$x$$ значения выражений $$x-1$$, $$2x+9$$, $$x^2+2x-11$$ и $$4-x$$ будут последовательными членами арифметической прогрессии? Найдите члены этой прогрессии.

Чтобы четыре числа были последовательными членами арифметической прогрессии, средний член должен равняться полусумме соседних:

$$2(2x+9)=(x-1)+(x^2+2x-11).$$

Решим уравнение:

$$4x+18=x-1+x^2+2x-11$$

$$4x+18=x^2+3x-12$$

$$x^2-x-30=0$$

$$(x-6)(x+5)=0$$

$$x=6 \text{ или } x=-5.$$

Проверим, при каком значении получаются именно последовательные члены одной арифметической прогрессии.

Если $$x=6,$$ то:

$$x-1=5,\quad 2x+9=21,\quad x^2+2x-11=37,\quad 4-x=-2,$$

и эти числа не образуют арифметическую прогрессию.

Если $$x=-5,$$ то:

$$x-1=-6,\quad 2x+9=-1,\quad x^2+2x-11=4,\quad 4-x=9.$$

Проверим разности:

$$-1-(-6)=5,\quad 4-(-1)=5,\quad 9-4=5.$$

Значит, это последовательные члены арифметической прогрессии.

Ответ

$$x=-5,$$ члены прогрессии: $$-6,\,-1,\,4,\,9.$$