Задание 15 Параграф 7 ГДЗ Рабочая тетрадь 1 Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

Задача

Постройте график функции $$y=\begin{cases}x^2, & \text{если } |x| \ ?\ 1;\\-\frac{1}{x}, & \text{если } |x|>1.\end{cases}$$ Определите, при каких значениях $$m$$ прямая $$y=m$$ имеет с графиком единственную общую точку.

Подробный ответ

Функция задана по частям:

$$y= \begin{cases} x^2, & |x|\le 1,\\ -\dfrac{1}{x}, & |x|>1. \end{cases}$$

Построим её график по частям.

1) При $$-1\le x\le 1$$ имеем параболу $$y=x^2$$. На этом промежутке она проходит через точки $$(-1,1)$$, $$(0,0)$$, $$(1,1)$$.

2) При $$x<-1$$ и $$x>1$$ имеем график функции $$y=-\dfrac{1}{x}$$. На этих промежутках он проходит, например, через точки $$(-2,\tfrac12)$$ и $$(2,-\tfrac12)$$.

Теперь найдём, при каких значениях $$m$$ прямая $$y=m$$ имеет с графиком ровно одну общую точку.

На участке $$y=x^2$$ горизонтальная прямая пересекает график:

в двух точках, если $$0<m<1$$;
в одной точке, если $$m=0$$;
в одной точке, если $$m=1$$;
не пересекает, если $$m<0$$ или $$m>1$$.

На участке $$y=-\dfrac{1}{x}$$ при $$x<-1$$ и $$x>1$$ значения функции лежат в промежутках $$0<y\le \dfrac12$$ и $$-\dfrac12\le y<0$$ соответственно. Поэтому при $$0<m\le \dfrac12$$ и при $$-\dfrac12\le m<0$$ прямая $$y=m$$ пересекает этот график ещё в одной точке.

Чтобы общая точка была единственной, подходят только значения, при которых пересечение происходит ровно один раз:

$$-1\le m<0.$$