Задание 15 Параграф 24 ГДЗ Рабочая тетрадь 2 Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

1. При каком значении $$x$$ значения выражений $$x-13$$, $$x-5$$ и $$3x+5$$ будут последовательными членами геометрической прогрессии? Найдите члены этой прогрессии.

Если числа $$x-13,$$ $$x-5$$ и $$3x+5$$ являются последовательными членами геометрической прогрессии, то квадрат среднего члена равен произведению соседних:

$$(x-5)^2=(x-13)(3x+5)$$

Раскроем скобки:

$$x^2-10x+25=3x^2+5x-39x-65$$

$$x^2-10x+25=3x^2-34x-65$$

Перенесём всё в одну сторону:

$$3x^2-34x-65-x^2+10x-25=0$$

$$2x^2-24x-90=0$$

Разделим на 2:

$$x^2-12x-45=0$$

Решим квадратное уравнение:

$$D=(-12)^2-4\cdot 1\cdot(-45)=144+180=324$$

$$x=\frac{12\pm 18}{2}$$

$$x_1=-3,\quad x_2=15$$

Найдём члены прогрессии.

При $$x=-3$$:

$$x-13=-3-13=-16,\quad x-5=-3-5=-8,\quad 3x+5=3\cdot(-3)+5=-4$$

При $$x=15$$:

$$x-13=15-13=2,\quad x-5=15-5=10,\quad 3x+5=3\cdot 15+5=50$$

Ответ

При $$x=-3$$: $$-16,\,-8,\,-4$$; при $$x=15$$: $$2,\,10,\,50$$.