Задание 14 Параграф 12 ГДЗ Рабочая тетрадь 2 Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

При каких значениях $$a$$ уравнение $$x^2-(a-5)x+1=0$$ не имеет корней?

Квадратное уравнение не имеет корней, если его дискриминант отрицателен:

$$D<0.$$

Для уравнения $$x^2-(a-5)x+1=0$$ имеем:

$$D=(a-5)^2-4=a^2-10a+25-4=a^2-10a+21.$$

Тогда нужно решить неравенство:

$$a^2-10a+21<0.$$

Найдём корни квадратного трёхчлена:

$$a^2-10a+21=0.$$

По теореме Виета:

$$a_1+a_2=10,\qquad a_1a_2=21.$$

Отсюда:

$$a_1=3,\qquad a_2=7.$$

Поскольку ветви параболы направлены вверх, неравенство $$a^2-10a+21<0$$ выполняется между корнями:

$$3<a<7.$$

Ответ

$$a\in(3;7).$$