Задание 14 Параграф 24 ГДЗ Рабочая тетрадь 2 Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

1. Найдите первый член и знаменатель геометрической прогрессии $$(b_n)$$, если: 1) $$b_2+b_3=30$$ и $$b_4-b_2=90$$; 2) $$b_6-b_3=215$$ и $$b_6+b_5+b_4=258$$.

1) Пусть $$q$$ — знаменатель геометрической прогрессии, а $$b_1$$ — её первый член. Тогда

$$b_2=b_1q,\quad b_3=b_1q^2,\quad b_4=b_1q^3.$$

По условию:

$$\begin{cases} b_1q+b_1q^2=30,\\ b_1q^3-b_1q=90. \end{cases}$$

Вынесем общий множитель:

$$\begin{cases} b_1q(1+q)=30,\\ b_1q(q^2-1)=90. \end{cases}$$

Разделим второе уравнение на первое:

$$\frac{q^2-1}{1+q}=3.$$

Так как $$q^2-1=(q-1)(q+1)$$, получаем:

$$q-1=3,\quad q=4.$$

Тогда из $$b_1q(1+q)=30$$:

$$b_1\cdot 4\cdot 5=30,$$
$$b_1=\frac{30}{20}=\frac{3}{2}.$$

2) Аналогично:

$$b_6=b_1q^5,\quad b_3=b_1q^2,\quad b_5=b_1q^4,\quad b_4=b_1q^3.$$

По условию:

$$\begin{cases} b_1q^5-b_1q^2=215,\\ b_1q^5+b_1q^4+b_1q^3=258. \end{cases}$$

Вынесем общий множитель:

$$\begin{cases} b_1q^2(q^3-1)=215,\\ b_1q^3(q^2+q+1)=258. \end{cases}$$

Разделим первое уравнение на второе:

$$\frac{q^3-1}{q(q^2+q+1)}=\frac{215}{258}.$$

Так как $$q^3-1=(q-1)(q^2+q+1)$$, то

$$\frac{q-1}{q}=\frac{215}{258}.$$

Отсюда:

$$258(q-1)=215q,$$
$$258q-258=215q,$$
$$43q=258,$$
$$q=6.$$

Теперь найдём $$b_1$$ из первого уравнения:

$$b_1\cdot 6^2(6^3-1)=215,$$
$$b_1\cdot 36\cdot 215=215,$$
$$b_1=\frac{1}{36}.$$

Ответ

1) $$b_1=\frac{3}{2},\ q=4$$; 2) $$b_1=\frac{1}{36},\ q=6$$.