Задание 14 Параграф 24 ГДЗ Рабочая тетрадь 2 Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

1) b_2 + b_3 = 30 и b_4 — b_2 = 90;
2) b_6 — b_3 = 215 и b_6 + b_5 + b_4 = 258.

1) Пусть $$q$$ — знаменатель геометрической прогрессии, а $$b_1$$ — её первый член. Тогда

$$b_2=b_1q,\quad b_3=b_1q^2,\quad b_4=b_1q^3.$$

По условию:

$$ \begin{cases} b_1q+b_1q^2=30,\\ b_1q^3-b_1q=90. \end{cases} $$

Вынесем общий множитель:

$$ \begin{cases} b_1q(1+q)=30,\\ b_1q(q^2-1)=90. \end{cases} $$

Разделим второе уравнение на первое:

$$ \frac{q^2-1}{1+q}=3. $$

Так как $$q^2-1=(q-1)(q+1)$$, получаем:

$$ q-1=3,\quad q=4. $$

Тогда из $$b_1q(1+q)=30$$:

$$ b_1\cdot 4\cdot 5=30, $$
$$ b_1=\frac{30}{20}=\frac{3}{2}. $$

2) Аналогично:

$$b_6=b_1q^5,\quad b_3=b_1q^2,\quad b_5=b_1q^4,\quad b_4=b_1q^3.$$

По условию:

$$ \begin{cases} b_1q^5-b_1q^2=215,\\ b_1q^5+b_1q^4+b_1q^3=258. \end{cases} $$

Вынесем общий множитель:

$$ \begin{cases} b_1q^2(q^3-1)=215,\\ b_1q^3(q^2+q+1)=258. \end{cases} $$

Разделим первое уравнение на второе:

$$ \frac{q^3-1}{q(q^2+q+1)}=\frac{215}{258}. $$

Так как $$q^3-1=(q-1)(q^2+q+1)$$, то

$$ \frac{q-1}{q}=\frac{215}{258}. $$

Отсюда:

$$ 258(q-1)=215q, $$
$$ 258q-258=215q, $$
$$ 43q=258, $$
$$ q=6. $$

Теперь найдём $$b_1$$ из первого уравнения:

$$ b_1\cdot 6^2(6^3-1)=215, $$
$$ b_1\cdot 36\cdot 215=215, $$
$$ b_1=\frac{1}{36}. $$

Ответ

1) $$b_1=\frac{3}{2},\ q=4$$; 2) $$b_1=\frac{1}{36},\ q=6$$.