Задание 13 Параграф 22 ГДЗ Рабочая тетрадь 2 Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

1) а_4 + а_6 = 16 и а_7 + а_13 = 1; 2) а_3 + а_9 = -14 и а_4 · а_7 = 27.

1) Составим систему:

$$ \begin{cases} a_4+a_6=16,\\ a_7+a_{13}=1. \end{cases} $$

Так как $$a_n=a_1+(n-1)d,$$ то

$$ \begin{cases} (a_1+3d)+(a_1+5d)=16,\\ (a_1+6d)+(a_1+12d)=1. \end{cases} $$

Получаем:

$$ \begin{cases} 2a_1+8d=16,\\ 2a_1+18d=1. \end{cases} $$

Вычтем первое уравнение из второго:

$$ 10d=-15,\quad d=-1{,}5. $$

Подставим в первое уравнение:

$$ 2a_1+8\cdot(-1{,}5)=16, $$

$$ 2a_1-12=16,\quad 2a_1=28,\quad a_1=14. $$

2) Составим систему:

$$ \begin{cases} a_3+a_9=-14,\\ a_4\cdot a_7=27. \end{cases} $$

Выразим члены прогрессии через $$a_1$$ и $$d$$:

$$ \begin{cases} (a_1+2d)+(a_1+8d)=-14,\\ (a_1+3d)(a_1+6d)=27. \end{cases} $$

Тогда

$$ \begin{cases} 2a_1+10d=-14,\\ a_1^2+9a_1d+18d^2=27. \end{cases} $$

Из первого уравнения:

$$ a_1=-7-5d. $$

Подставим во второе:

$$ (-7-5d)^2+9d(-7-5d)+18d^2=27. $$

После преобразований:

$$ 2d^2-7d-22=0. $$

Решим квадратное уравнение:

$$ D=(-7)^2-4\cdot2\cdot(-22)=49+176=225, $$

$$ d=\frac{7\pm15}{4}. $$

Отсюда

$$ d_1=-2,\quad d_2=5{,}5. $$

Найдём $$a_1$$:

$$ d=-2 \Rightarrow a_1=-7-5\cdot(-2)=3, $$

$$ d=5{,}5 \Rightarrow a_1=-7-5\cdot5{,}5=-34{,}5. $$

Ответ

1) $$a_1=14,\ d=-1{,}5.$$

2) $$a_1=3,\ d=-2$$ или $$a_1=-34{,}5,\ d=5{,}5.$$