Задание 13 Параграф 22 ГДЗ Рабочая тетрадь 2 Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

1. Найдите первый член и разность арифметической прогрессии $$(a_n)$$, если: 1) $$a_4+a_6=16$$ и $$a_7+a_{13}=1$$; 2) $$a_3+a_9=-14$$ и $$a_4\cdot a_7=27$$.

1) Составим систему:

$$\begin{cases} a_4+a_6=16,\\ a_7+a_{13}=1. \end{cases}$$

Так как $$a_n=a_1+(n-1)d,$$ то

$$\begin{cases} (a_1+3d)+(a_1+5d)=16,\\ (a_1+6d)+(a_1+12d)=1. \end{cases}$$

Получаем:

$$\begin{cases} 2a_1+8d=16,\\ 2a_1+18d=1. \end{cases}$$

Вычтем первое уравнение из второго:

$$10d=-15,\quad d=-1{,}5.$$

Подставим в первое уравнение:

$$2a_1+8\cdot(-1{,}5)=16,$$

$$2a_1-12=16,\quad 2a_1=28,\quad a_1=14.$$

2) Составим систему:

$$\begin{cases} a_3+a_9=-14,\\ a_4\cdot a_7=27. \end{cases}$$

Выразим члены прогрессии через $$a_1$$ и $$d$$:

$$\begin{cases} (a_1+2d)+(a_1+8d)=-14,\\ (a_1+3d)(a_1+6d)=27. \end{cases}$$

Тогда

$$\begin{cases} 2a_1+10d=-14,\\ a_1^2+9a_1d+18d^2=27. \end{cases}$$

Из первого уравнения:

$$a_1=-7-5d.$$

Подставим во второе:

$$(-7-5d)^2+9d(-7-5d)+18d^2=27.$$

После преобразований:

$$2d^2-7d-22=0.$$

Решим квадратное уравнение:

$$D=(-7)^2-4\cdot2\cdot(-22)=49+176=225,$$

$$d=\frac{7\pm15}{4}.$$

Отсюда

$$d_1=-2,\quad d_2=5{,}5.$$

Найдём $$a_1$$:

$$d=-2 \Rightarrow a_1=-7-5\cdot(-2)=3,$$

$$d=5{,}5 \Rightarrow a_1=-7-5\cdot5{,}5=-34{,}5.$$

Ответ

1) $$a_1=14,\ d=-1{,}5.$$

2) $$a_1=3,\ d=-2$$ или $$a_1=-34{,}5,\ d=5{,}5.$$