Задание 13 Параграф 11 ГДЗ Рабочая тетрадь 2 Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

1. При каком отрицательном значении $$k$$ прямая $$y=kx-4$$ имеет с параболой $$y=x^2-3x$$ ровно одну общую точку? Найдите координаты этой точки. Постройте в одной системе координат данную параболу и прямую при найденном значении $$k$$.

Найдём, при каком значении $$k$$ прямая $$y=kx-4$$ и парабола $$y=x^2-3x$$ имеют ровно одну общую точку.

Приравняем их уравнения:

$$kx-4=x^2-3x$$

$$x^2-(k+3)x+4=0$$

Чтобы прямая и парабола имели одну общую точку, это квадратное уравнение должно иметь один корень, то есть его дискриминант равен нулю:

$$D=(k+3)^2-4\cdot 1\cdot 4=(k+3)^2-16$$

$$D=0$$

$$(k+3)^2-16=0$$

$$(k+3)^2=16$$

$$k+3=\pm 4$$

$$k=1 \text{ или } k=-7$$

По условию $$k<0$$, значит:

$$k=-7$$

Найдём точку касания. Подставим $$k=-7$$ в уравнение прямой:

$$y=-7x-4$$

Решим систему:

$$x^2-3x=-7x-4$$

$$x^2+4x+4=0$$

$$(x+2)^2=0$$

$$x=-2$$

Тогда

$$y=(-2)^2-3\cdot(-2)=4+6=10$$

Следовательно, общая точка графиков — $$(-2;10)$$.

Для построения можно отметить на координатной плоскости параболу $$y=x^2-3x$$ и прямую $$y=-7x-4$$; они касаются в точке $$(-2;10)$$.

Ответ

$$k=-7$$, точка касания $$(-2;10)$$.