Задание 13 Параграф 11 ГДЗ Рабочая тетрадь 2 Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Просвещение: 13. При каком отрицательном значении k прямая у = kx — 4 имеет с параболой у = х^2 — 3х ровно одну общую точку? Найдите координаты этой точки. Постройте в одной системе координат данную параболу и прямую при найденном значении k. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 9 merzlyak_wb9 11-13 95

Найдём, при каком значении $$k$$ прямая $$y=kx-4$$ и парабола $$y=x^2-3x$$ имеют ровно одну общую точку.

Приравняем их уравнения:

$$kx-4=x^2-3x$$

$$x^2-(k+3)x+4=0$$

Чтобы прямая и парабола имели одну общую точку, это квадратное уравнение должно иметь один корень, то есть его дискриминант равен нулю:

$$D=(k+3)^2-4\cdot 1\cdot 4=(k+3)^2-16$$

$$D=0$$

$$ (k+3)^2-16=0 $$

$$ (k+3)^2=16 $$

$$ k+3=\pm 4 $$

$$ k=1 \text{ или } k=-7 $$

По условию $$k<0$$, значит:

$$k=-7$$

Найдём точку касания. Подставим $$k=-7$$ в уравнение прямой:

$$y=-7x-4$$

Решим систему:

$$x^2-3x=-7x-4$$

$$x^2+4x+4=0$$

$$ (x+2)^2=0 $$

$$x=-2$$

Тогда

$$y=(-2)^2-3\cdot(-2)=4+6=10$$

Следовательно, общая точка графиков — $$(-2;10)$$.

Для построения можно отметить на координатной плоскости параболу $$y=x^2-3x$$ и прямую $$y=-7x-4$$; они касаются в точке $$(-2;10)$$.

Ответ

$$k=-7$$, точка касания $$(-2;10)$$.