Задание 12 Параграф 11 ГДЗ Рабочая тетрадь 2 Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Просвещение: 12. При каком значении р прямая у = -2х + р имеет с параболой у = х^2 + 2х ровно одну общую точку? Найдите координаты этой точки. Постройте в одной системе координат данную параболу и прямую при найденном значении р. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 9 merzlyak_wb9 11-12 95

Найдём значение параметра p, при котором прямая и парабола имеют ровно одну общую точку. Для этого приравняем их уравнения:

$$x^2+2x=-2x+p$$

$$x^2+4x-p=0$$

Это квадратное уравнение должно иметь один корень, значит его дискриминант равен нулю:

$$D=4^2-4\cdot 1\cdot(-p)=16+4p$$

$$16+4p=0$$

$$p=-4$$

Тогда уравнение прямой:

$$y=-2x-4$$

Найдём точку касания, решив уравнение пересечения:

$$x^2+2x=-2x-4$$

$$x^2+4x+4=0$$

$$\left(x+2\right)^2=0$$

$$x=-2$$

Подставим в любое из уравнений:

$$y=(-2)^2+2\cdot(-2)=4-4=0$$

Значит, общая точка имеет координаты $$(-2;0)$$.

Парабола $$y=x^2+2x$$ и прямая $$y=-2x-4$$ пересекаются в одной точке $$(-2;0)$$.

Ответ

$$p=-4,\; (-2;0).$$