Задание 11 Параграф 8 ГДЗ Рабочая тетрадь 1 Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

Постройте график функции $$f(x)=\begin{cases}\dfrac{3}{x},&\text{если }x\leqslant -3;\\x+2,&\text{если }-31.\end{cases}$$ Используя график, заполните пропуски.

1. $$f(x)=0$$ при ________________.
2. $$f(x)<0$$ при ________________.
3. $$f(x)>0$$ при ________________.
4. Функция возрастает на _______________.
5. Функция убывает на ________________.

Рассмотрим части функции по отдельности:

$$f(x)= \begin{cases} \dfrac{3}{x}, & x\le -3,\\ x+2, & -3<x\le 0,\\ 2-x, & 0<x\le 1,\\ \sqrt{x}, & x>1. \end{cases}$$

1) Найдём, при каких значениях $$x$$ функция равна нулю.

$$\dfrac{3}{x}=0$$

решений не имеет, так как числитель не равен нулю. Далее:

$$x+2=0 \Rightarrow x=-2,$$

и это значение подходит промежутку $$-3<x\le 0$$.

В остальных частях:

$$2-x=0 \Rightarrow x=2,$$

но $$2\notin (0;1]$$; а

$$\sqrt{x}=0 \Rightarrow x=0,$$

но $$0\not>1$$.

Значит, $$f(x)=0$$ при $$x=-2$$.

2) Отрицательные значения функции:

$$\dfrac{3}{x}<0 \text{ при } x\le -3,$$

так как числитель положителен, а знаменатель отрицателен. На промежутке $$-3<x\le 0$$ имеем $$x+2<0$$ при $$x<-2$$. На промежутке $$0<x\le 1$$:

$$2-x>0,$$

а при $$x>1$$:

$$\sqrt{x}>0.$$

Следовательно, $$f(x)<0$$ при $$x\in(-\infty;-2)$$.

3) Положительные значения функции:

$$f(x)>0 \text{ при } x\in(-2;+\infty).$$

4) Функция возрастает на промежутках $$[-3;0]$$ и $$[1;+\infty)$$.

5) Функция убывает на промежутках $$(-\infty;-3]$$ и $$[0;1]$$.

Ответ

1) $$x=-2$$.
2) $$x\in(-\infty;-2)$$.
3) $$x\in(-2;+\infty)$$.
4) $$[-3;0]$$ и $$[1;+\infty)$$.
5) $$(-\infty;-3]$$ и $$[0;1]$$.