Задание 11 Параграф 7 ГДЗ Рабочая тетрадь 1 Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Просвещение: 11. Постройте график функции у = {2x+1, если x < 1; -3x+6, если 1?x?3; 2x-9, если x > 3}. Определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно две общие точки.

Подробный ответ

График функции состоит из трёх отрезков прямых:

$$ y=2x+1,\quad x<1; $$
$$ y=-3x+6,\quad 1\le x\le 3; $$
$$ y=2x-9,\quad x>3. $$

Найдём значения функции на границах промежутков:

при $$x=1$$ получаем $$y=2\cdot 1+1=3$$;
при $$x=3$$ получаем $$y=-3\cdot 3+6=-3$$.

Значит, на первом участке значения $$y$$ принимаются от $$-\infty$$ до $$3$$, на втором — от $$-3$$ до $$3$$, на третьем — от $$-3$$ до $$+\infty$$.

Прямая $$y=m$$ будет иметь с графиком ровно две общие точки тогда и только тогда, когда она проходит через одну из общих точек стыка графика и пересекает ещё один из участков ровно один раз. Это происходит при

$$ m=-3 \quad \text{и} \quad m=3. $$

Проверим:

при $$m=3$$ прямая проходит через точку $$\left(1,3\right)$$ и пересекает правый участок ещё в одной точке;
при $$m=-3$$ прямая проходит через точку $$\left(3,-3\right)$$ и пересекает левый участок ещё в одной точке.