Задание 11 Параграф 7 ГДЗ Рабочая тетрадь 1 Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

Задача

Постройте график функции $$y=\begin{cases}2x+1,\ если\ x<1;\\-3x+6,\ если\ 1\le x\le 3;\\2x-9,\ если\ x>3.\end{cases}$$ Определите, при каких значениях $$m$$ прямая $$y=m$$ имеет с графиком ровно две общие точки.

Подробный ответ

График функции состоит из трёх отрезков прямых:

$$y=2x+1,\quad x<1;$$
$$y=-3x+6,\quad 1\le x\le 3;$$
$$y=2x-9,\quad x>3.$$

Найдём значения функции на границах промежутков:

при $$x=1$$ получаем $$y=2\cdot 1+1=3$$;
при $$x=3$$ получаем $$y=-3\cdot 3+6=-3$$.

Значит, на первом участке значения $$y$$ принимаются от $$-\infty$$ до $$3$$, на втором — от $$-3$$ до $$3$$, на третьем — от $$-3$$ до $$+\infty$$.

Прямая $$y=m$$ будет иметь с графиком ровно две общие точки тогда и только тогда, когда она проходит через одну из общих точек стыка графика и пересекает ещё один из участков ровно один раз. Это происходит при

$$m=-3 \quad \text{и} \quad m=3.$$

Проверим:

при $$m=3$$ прямая проходит через точку $$\left(1,3\right)$$ и пересекает правый участок ещё в одной точке;
при $$m=-3$$ прямая проходит через точку $$\left(3,-3\right)$$ и пересекает левый участок ещё в одной точке.