Задание 11 Параграф 25 ГДЗ Рабочая тетрадь 2 Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Просвещение: 11. В геометрической прогрессии (b_n) известно, что b_4 — b_2 = 24 и b_4 — b_3 = 18. Найдите сумму семи первых членов прогрессии. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 9 merzlyak_wb9 25-11 95

Пусть $$q$$ — знаменатель геометрической прогрессии, а $$b_1$$ — её первый член. Тогда

$$b_2=b_1q,\quad b_3=b_1q^2,\quad b_4=b_1q^3.$$

По условию:

$$ \begin{cases} b_4-b_2=24,\\ b_4-b_3=18. \end{cases} $$

Подставим выражения через $$b_1$$ и $$q$$:

$$ \begin{cases} b_1q^3-b_1q=24,\\ b_1q^3-b_1q^2=18. \end{cases} $$

Вынесем общий множитель:

$$ \begin{cases} b_1q(q^2-1)=24,\\ b_1q^2(q-1)=18. \end{cases} $$

Разделим первое уравнение на второе:

$$ \frac{q^2-1}{q(q-1)}=\frac{24}{18}=\frac{4}{3}. $$

Так как $$q^2-1=(q-1)(q+1)$$, получаем:

$$ \frac{q+1}{q}=\frac{4}{3}. $$

Отсюда

$$ 3(q+1)=4q,\quad q=3. $$

Найдём $$b_1$$ из уравнения $$b_1q(q^2-1)=24$$:

$$ b_1\cdot 3\cdot (9-1)=24, $$
$$ 24b_1=24, $$
$$ b_1=1. $$

Теперь найдём сумму первых семи членов:

$$ S_7=\frac{b_1(q^7-1)}{q-1}. $$

Подставим значения:

$$ S_7=\frac{1\cdot(3^7-1)}{3-1}=\frac{2187-1}{2}=\frac{2186}{2}=1093. $$

Ответ

$$1093$$