Задание 11 Параграф 25 ГДЗ Рабочая тетрадь 2 Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

1. В геометрической прогрессии $$\left(b_n\right)$$ известно, что $$b_4-b_2=24$$ и $$b_4-b_3=18$$. Найдите сумму семи первых членов прогрессии.

Пусть $$q$$ — знаменатель геометрической прогрессии, а $$b_1$$ — её первый член. Тогда

$$b_2=b_1q,\quad b_3=b_1q^2,\quad b_4=b_1q^3.$$

По условию:

$$\begin{cases} b_4-b_2=24,\\ b_4-b_3=18. \end{cases}$$

Подставим выражения через $$b_1$$ и $$q$$:

$$\begin{cases} b_1q^3-b_1q=24,\\ b_1q^3-b_1q^2=18. \end{cases}$$

Вынесем общий множитель:

$$\begin{cases} b_1q(q^2-1)=24,\\ b_1q^2(q-1)=18. \end{cases}$$

Разделим первое уравнение на второе:

$$\frac{q^2-1}{q(q-1)}=\frac{24}{18}=\frac{4}{3}.$$

Так как $$q^2-1=(q-1)(q+1)$$, получаем:

$$\frac{q+1}{q}=\frac{4}{3}.$$

Отсюда

$$3(q+1)=4q,\quad q=3.$$

Найдём $$b_1$$ из уравнения $$b_1q(q^2-1)=24$$:

$$b_1\cdot 3\cdot (9-1)=24,$$
$$24b_1=24,$$
$$b_1=1.$$

Теперь найдём сумму первых семи членов:

$$S_7=\frac{b_1(q^7-1)}{q-1}.$$

Подставим значения:

$$S_7=\frac{1\cdot(3^7-1)}{3-1}=\frac{2187-1}{2}=\frac{2186}{2}=1093.$$

Ответ

$$1093$$