Задание 10 Параграф 1 ГДЗ Рабочая тетрадь 1 Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

1. Докажите неравенство:
   1) $$a^2+b^2-18a-16b+145\ ?\ 0$$;
   2) $$10b^2-30bc+25c^2-10b+30>0$$;
   3) $$a^2+b^2+c^2>6(4a-2b+5c-68)$$;
   4) $$a^2+b^2+1\ ?\ a+b+ab$$.

1. $$a^2+b^2-18a-16b+145=(a^2-18a+81)+(b^2-16b+64)= (a-9)^2+(b-8)^2.$$

   Так как $$(a-9)^2 \ge 0$$ и $$(b-8)^2 \ge 0$$ при любых значениях $$a$$ и $$b$$, то
   $$a^2+b^2-18a-16b+145 \ge 0.$$

2. $$10b^2-30bc+25c^2-10b+30=9b^2-30bc+25c^2+b^2-10b+25+5.$$

   $$9b^2-30bc+25c^2=(3b-5c)^2,\qquad b^2-10b+25=(b-5)^2.$$

   Значит,
   $$10b^2-30bc+25c^2-10b+30=(3b-5c)^2+(b-5)^2+5.$$

   Поскольку $$(3b-5c)^2 \ge 0$$ и $$(b-5)^2 \ge 0$$, то
   $$10b^2-30bc+25c^2-10b+30>0.$$

3. Рассмотрим разность левой и правой частей:
   $$a^2+b^2+c^2-6(4a-2b+5c-68).$$

   $$a^2+b^2+c^2-24a+12b-30c+408=(a-12)^2+(b+6)^2+(c-15)^2+3.$$

   Так как
   $$(a-12)^2 \ge 0,\quad (b+6)^2 \ge 0,\quad (c-15)^2 \ge 0,$$
   то
   $$a^2+b^2+c^2-6(4a-2b+5c-68)>0.$$

   Следовательно,
   $$a^2+b^2+c^2>6(4a-2b+5c-68).$$

4. $$a^2+b^2+1-(a+b+ab)=a^2+b^2+1-a-b-ab.$$

   $$a^2+b^2+1-a-b-ab=\frac12\bigl(2a^2+2b^2+2-2a-2b-2ab\bigr).$$

   $$\frac12\bigl(2a^2+2b^2+2-2a-2b-2ab\bigr)=\frac12\bigl((a-1)^2+(b-1)^2+(a-b)^2\bigr).$$

   Так как
   $$(a-1)^2 \ge 0,\quad (b-1)^2 \ge 0,\quad (a-b)^2 \ge 0,$$
   то
   $$a^2+b^2+1-a-b-ab \ge 0.$$

   Следовательно,
   $$a^2+b^2+1 \ge a+b+ab.$$

Ответ

1) $$a^2+b^2-18a-16b+145 \ge 0$$;
2) $$10b^2-30bc+25c^2-10b+30>0$$;
3) $$a^2+b^2+c^2>6(4a-2b+5c-68)$$;
4) $$a^2+b^2+1 \ge a+b+ab$$.