Задание 10 Параграф 1 ГДЗ Рабочая тетрадь 1 Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

1) а^2 + b^2 — 18а — 16b + 145 ? 0
2) 10b^2 — 30bс + 25с^2 — 10b + 30 > 0
3) а^2 + b^2 + с^2 > 6(4а — 2b + 5с — 68)
4) a^2 + b^2 + 1 ? a + b + ab.

1. $$a^2+b^2-18a-16b+145=(a^2-18a+81)+(b^2-16b+64)= (a-9)^2+(b-8)^2.$$

   Так как $$ (a-9)^2 \ge 0 $$ и $$ (b-8)^2 \ge 0 $$ при любых значениях $$a$$ и $$b$$, то
   $$a^2+b^2-18a-16b+145 \ge 0.$$

2. $$10b^2-30bc+25c^2-10b+30=9b^2-30bc+25c^2+b^2-10b+25+5.$$

   $$9b^2-30bc+25c^2=(3b-5c)^2,\qquad b^2-10b+25=(b-5)^2.$$

   Значит,
   $$10b^2-30bc+25c^2-10b+30=(3b-5c)^2+(b-5)^2+5.$$

   Поскольку $$ (3b-5c)^2 \ge 0 $$ и $$ (b-5)^2 \ge 0 $$, то
   $$10b^2-30bc+25c^2-10b+30>0.$$

3. Рассмотрим разность левой и правой частей:
   $$a^2+b^2+c^2-6(4a-2b+5c-68).$$

   $$a^2+b^2+c^2-24a+12b-30c+408=(a-12)^2+(b+6)^2+(c-15)^2+3.$$

   Так как
   $$ (a-12)^2 \ge 0,\quad (b+6)^2 \ge 0,\quad (c-15)^2 \ge 0, $$
   то
   $$a^2+b^2+c^2-6(4a-2b+5c-68)>0.$$

   Следовательно,
   $$a^2+b^2+c^2>6(4a-2b+5c-68).$$

4. $$a^2+b^2+1-(a+b+ab)=a^2+b^2+1-a-b-ab.$$

   $$a^2+b^2+1-a-b-ab=\frac12\bigl(2a^2+2b^2+2-2a-2b-2ab\bigr).$$

   $$\frac12\bigl(2a^2+2b^2+2-2a-2b-2ab\bigr)=\frac12\bigl((a-1)^2+(b-1)^2+(a-b)^2\bigr).$$

   Так как
   $$ (a-1)^2 \ge 0,\quad (b-1)^2 \ge 0,\quad (a-b)^2 \ge 0, $$
   то
   $$a^2+b^2+1-a-b-ab \ge 0.$$

   Следовательно,
   $$a^2+b^2+1 \ge a+b+ab.$$

Ответ

1) $$a^2+b^2-18a-16b+145 \ge 0$$;
2) $$10b^2-30bc+25c^2-10b+30>0$$;
3) $$a^2+b^2+c^2>6(4a-2b+5c-68)$$;
4) $$a^2+b^2+1 \ge a+b+ab$$.