Задание 10 Параграф 26 ГДЗ Рабочая тетрадь 2 Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Просвещение: 10. Решите уравнение x^2 — x^4 + x^6 — … = 9/25, если |x| < 1.

Левую часть уравнения рассмотрим как сумму бесконечной геометрической прогрессии:

$$x^2-x^4+x^6-\dots$$

Здесь первый член прогрессии $$b_1=x^2$$, а знаменатель

$$q=\frac{-x^4}{x^2}=-x^2.$$

Так как $$|x|<1$$, то $$|q|=|x^2|<1$$, и формула суммы применима:

$$S=\frac{b_1}{1-q}.$$

Тогда

$$\frac{x^2}{1-(-x^2)}=\frac{9}{25}$$

$$\frac{x^2}{1+x^2}=\frac{9}{25}$$

$$25x^2=9(1+x^2)$$

$$25x^2=9+9x^2$$

$$16x^2=9$$

$$x^2=\frac{9}{16}$$

$$x=\pm \frac{3}{4}.$$

Оба значения удовлетворяют условию $$|x|<1$$.

Ответ

$$x=-\frac{3}{4},\ \frac{3}{4}$$