Дополнительное упражнение Параграф 5 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

1. Решите уравнение:
   1) $$\frac{3x^2-9x}{2}-\frac{12}{x^2-3x}=3$$;
   2) $$\frac{6}{(x+1)(x+2)}+\frac{8}{(x-1)(x+4)}=1$$;
   3) $$x(x+3)(x+5)(x+8)=100$$;
   4) $$(x+2)(x+3)(x+8)(x+12)=4x^2$$;
   5) $$7\left(x+\frac{1}{x}\right)-2\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)=9$$;
   6) $$2(x^2+x+1)^2-7(x-1)^2=13(x^3-1)$$;
   7) $$(x-6)^4+(x-4)^4=82$$.

1. $$\frac{3x^2-9x}{2}-\frac{12}{x^2-3x}=3.$$
   Обозначим $$y=x^2-3x$$. Тогда
   $$\frac{3y}{2}-\frac{12}{y}=3.$$
   Умножим на $$2y$$:
   $$3y^2-24=6y,$$
   $$y^2-2y-8=0.$$
   $$D=4+32=36,\quad y_1=\frac{2-6}{2}=-2,\quad y_2=\frac{2+6}{2}=4.$$
   1) $$x^2-3x=-2$$:
   $$x^2-3x+2=0,\quad x=1,\ 2.$$
   2) $$x^2-3x=4$$:
   $$x^2-3x-4=0,\quad x=-1,\ 4.$$

2. $$\frac{6}{(x+1)(x+2)}+\frac{8}{(x-1)(x+4)}=1.$$
   Обозначим $$y=x^2+3x$$. Тогда
   $$\frac{6}{y+2}+\frac{8}{y-4}=1.$$
   Умножим на $$(y+2)(y-4)$$:
   $$6(y-4)+8(y+2)=(y+2)(y-4),$$
   $$14y-8=y^2-2y-8,$$
   $$y^2-16y=0,$$
   $$y(y-16)=0,\quad y_1=0,\ y_2=16.$$
   1) $$x^2+3x=0$$:
   $$x(x+3)=0,\quad x=-3,\ 0.$$
   2) $$x^2+3x=16$$:
   $$x^2+3x-16=0,\quad D=73,$$
   $$x=\frac{-3\pm\sqrt{73}}{2}.$$

3. $$x(x+3)(x+5)(x+8)=100.$$
   Сгруппируем:
   $$(x^2+8x)(x^2+8x+15)=100.$$
   Обозначим $$y=x^2+8x$$. Тогда
   $$y(y+15)=100,$$
   $$y^2+15y-100=0.$$
   $$D=625,\quad y_1=-20,\ y_2=5.$$
   1) $$x^2+8x=-20$$:
   $$x^2+8x+20=0,$$
   действительных корней нет.
   2) $$x^2+8x=5$$:
   $$x^2+8x-5=0,\quad D=84,$$
   $$x=\frac{-8\pm\sqrt{84}}{2}=-4\pm\sqrt{21}.$$

4. $$(x+2)(x+3)(x+8)(x+12)=4x^2.$$
   Сгруппируем:
   $$(x^2+14x+24)(x^2+11x+24)=4x^2.$$
   Обозначим $$y=x+\frac{24}{x}$$. Тогда
   $$\left(x+\frac{24}{x}+14\right)\left(x+\frac{24}{x}+11\right)=4,$$
   $$(y+14)(y+11)=4,$$
   $$y^2+25y+150=0.$$
   $$D=25,\quad y_1=-15,\ y_2=-10.$$
   1) $$x+\frac{24}{x}=-15$$:
   $$x^2+15x+24=0,\quad D=129,$$
   $$x=\frac{-15\pm\sqrt{129}}{2}.$$
   2) $$x+\frac{24}{x}=-10$$:
   $$x^2+10x+24=0,\quad x=-6,\ -4.$$

5. $$7\left(x+\frac{1}{x}\right)-2\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)=9.$$
   Используем
   $$x^2+\frac{1}{x^2}=\left(x+\frac{1}{x}\right)^2-2.$$
   Тогда
   $$7\left(x+\frac{1}{x}\right)-2\left(\left(x+\frac{1}{x}\right)^2-2\right)=9.$$
   Обозначим $$y=x+\frac{1}{x}$$. Получаем
   $$2y^2-7y+5=0,$$
   $$D=9,\quad y_1=1,\ y_2=\frac{5}{2}.$$
   1) $$x+\frac{1}{x}=1$$:
   $$x^2-x+1=0,$$
   действительных корней нет.
   2) $$x+\frac{1}{x}=\frac{5}{2}$$:
   $$2x^2-5x+2=0,\quad D=9,$$
   $$x=\frac{5\pm3}{4},\quad x=\frac12,\ 2.$$

6. $$2(x^2+x+1)^2-7(x-1)^2=13(x^3-1).$$
   Заметим, что
   $$x^3-1=(x-1)(x^2+x+1).$$
   Обозначим
   $$y=\frac{x^2+x+1}{x-1}.$$
   Тогда уравнение приводится к
   $$2y^2-13y-7=0.$$
   $$D=225,\quad y_1=-\frac12,\ y_2=7.$$
   1) $$\frac{x^2+x+1}{x-1}=-\frac12$$:
   $$2(x^2+x+1)=-(x-1),$$
   $$2x^2+3x+1=0,\quad x=-1,\ -\frac12.$$
   2) $$\frac{x^2+x+1}{x-1}=7$$:
   $$x^2+x+1=7(x-1),$$
   $$x^2-6x+8=0,\quad x=2,\ 4.$$

7. $$(x-6)^4+(x-4)^4=82.$$
   Обозначим $$y=x-5$$. Тогда
   $$(y-1)^4+(y+1)^4=82.$$
   Раскроем скобки:
   $$2(y^4+6y^2+1)=82,$$
   $$y^4+6y^2-40=0.$$
   Пусть $$z=y^2$$. Тогда
   $$z^2+6z-40=0,$$
   $$D=196,\quad z_1=-10,\ z_2=4.$$
   Так как $$y^2\ge 0$$, берём $$y^2=4$$:
   $$y=-2,\ 2.$$
   Тогда
   $$x-5=-2 \Rightarrow x=3,$$
   $$x-5=2 \Rightarrow x=7.$$

Ответ

1) $$-1,\ 1,\ 2,\ 4$$;
2) $$-3,\ 0,\ \frac{-3-\sqrt{73}}{2},\ \frac{-3+\sqrt{73}}{2}$$;
3) $$-4-\sqrt{21},\ -4+\sqrt{21}$$;
4) $$-6,\ -4,\ \frac{-15-\sqrt{129}}{2},\ \frac{-15+\sqrt{129}}{2}$$;
5) $$\frac12,\ 2$$;
6) $$-1,\ -\frac12,\ 2,\ 4$$;
7) $$3,\ 7$$.