Упражнения на стр.133 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

1. $$(x+1)(x-2)(x+5)>0$$

   Нули: $$x=-5,\,-1,\,2.$$ Знак произведения положителен на промежутках

   $$(-5;\,-1)\cup(2;\,+\infty).$$

2. $$x(x-3)(x+2)<0$$

   Нули: $$x=-2,\,0,\,3.$$ Тогда

   $$(-\infty;\,-2)\cup(0;\,3).$$

3. $$(2x-1)(3-x)(x+1)<0$$

   Перепишем:

   $$(x+1)(2x-1)(x-3)>0.$$

   Нули: $$x=-1,\;\frac12,\;3.$$ Получаем

   $$(-1;\,\tfrac12)\cup(3;\,+\infty).$$

4. $$(2x+3)(3x-1)(x+4)>0$$

   Нули: $$x=-4,\;-\frac32,\;\frac13.$$ Тогда

   $$(-4;\,-\tfrac32)\cup(\tfrac13;\,+\infty).$$

5. $$(2x+1)(x-3)(x^2+4)<0$$

   Так как $$x^2+4>0$$ при всех $$x,$$ достаточно решить

   $$(2x+1)(x-3)<0.$$

   Отсюда

   $$\left(-\tfrac12;\,3\right).$$

6. $$(2-x)(3x+5)(x^2-x+1)>0$$

   Так как $$x^2-x+1>0$$ при всех $$x,$$ получаем

   $$(2-x)(3x+5)>0.$$

   Это равносильно

   $$(x-2)(3x+5)<0,$$

   значит,

   $$\left(-\tfrac53;\,2\right).$$

7. $$(2x+1)^2(x^2-4x+3)>0$$

   Так как $$(2x+1)^2\ge 0,$$ то нужно, чтобы

   $$x^2-4x+3>0,\qquad 2x+1\ne 0.$$

   Разложим на множители:

   $$x^2-4x+3=(x-1)(x-3).$$

   Тогда

   $$(x-1)(x-3)>0,$$

   откуда

   $$x<1 \text{ или } x>3.$$

   Исключаем $$x=-\tfrac12.$$ Получаем

   $$(-\infty;\,-\tfrac12)\cup(-\tfrac12;\,1)\cup(3;\,+\infty).$$

8. $$\frac{x+3}{x-1}>0$$

   Критические точки: $$x=-3,\;1.$$ Тогда

   $$(-\infty;\,-3)\cup(1;\,+\infty).$$

9. $$\frac{(x-2)(x+1)}{x-4}<0$$

   Критические точки: $$x=-1,\;2,\;4.$$ Получаем

   $$(-\infty;\,-1)\cup(2;\,4).$$

10. $$\frac{(2x+1)(x-3)}{(2-x)(x-5)}<0$$

    Перепишем:

    $$\frac{(2x+1)(x-3)}{(x-2)(x-5)}>0.$$

    Критические точки: $$x=-\tfrac12,\;2,\;3,\;5.$$ Тогда

    $$(-\infty;\,-\tfrac12)\cup(2;\,3)\cup(5;\,+\infty).$$

11. $$\frac{x^3(x-1)^4(x+5)}{(x-8)(1-4x)}>0$$

    Так как $$x^3$$ и $$x$$ имеют один знак, а $$(x-1)^4>0$$ при $$x\ne 1,$$ получаем

    $$\frac{x(x+5)}{(4x-1)(x-8)}<0,\qquad x\ne 1.$$

    Критические точки: $$x=-5,\;0,\;\frac14,\;1,\;8.$$ Тогда

    $$(-5;\,0)\cup\left(\tfrac14;\,1\right)\cup(1;\,8).$$

12. $$\frac1x<1$$

    $$\frac{1-x}{x}<0 \iff \frac{x-1}{x}>0.$$

    Отсюда

    $$(-\infty;\,0)\cup(1;\,+\infty).$$

13. $$\frac{x}{x+3}>\frac12$$

    $$\frac{2x-(x+3)}{2(x+3)}>0$$

    $$\frac{x-3}{x+3}>0.$$

    Следовательно,

    $$(-\infty;\,-3)\cup(3;\,+\infty).$$

14. $$\frac1{x+2}<\frac3{x-3}$$

    $$\frac{3(x+2)-(x-3)}{(x+2)(x-3)}>0$$

    $$\frac{2x+9}{(x+2)(x-3)}>0.$$

    Критические точки: $$x=-\tfrac92,\,-2,\,3.$$ Тогда

    $$\left(-\tfrac92;\,-2\right)\cup(3;\,+\infty).$$

15. $$\frac4{x+1}+\frac2{1-x}<1$$

    $$\frac{4(1-x)+2(x+1)-(x+1)(1-x)}{(x+1)(1-x)}<0$$

    $$\frac{x^2-2x+5}{(x+1)(1-x)}<0.$$

    Так как $$x^2-2x+5>0$$ при всех $$x,$$ то

    $$(x+1)(1-x)>0 \iff (x+1)(x-1)<0.$$

    Следовательно,

    $$(-1;\,1).$$

Ответ

1) $$(-5;\,-1)\cup(2;\,+\infty)$$;
2) $$(-\infty;\,-2)\cup(0;\,3)$$;
3) $$(-1;\,\tfrac12)\cup(3;\,+\infty)$$;
4) $$(-4;\,-\tfrac32)\cup(\tfrac13;\,+\infty)$$;
5) $$(-\tfrac12;\,3)$$;
6) $$(-\tfrac53;\,2)$$;
7) $$(-\infty;\,-\tfrac12)\cup(-\tfrac12;\,1)\cup(3;\,+\infty)$$;
8) $$(-\infty;\,-3)\cup(1;\,+\infty)$$;
9) $$(-\infty;\,-1)\cup(2;\,4)$$;
10) $$(-\infty;\,-\tfrac12)\cup(2;\,3)\cup(5;\,+\infty)$$;
11) $$(-5;\,0)\cup(\tfrac14;\,1)\cup(1;\,8)$$;
12) $$(-\infty;\,0)\cup(1;\,+\infty)$$;
13) $$(-\infty;\,-3)\cup(3;\,+\infty)$$;
14) $$(-\tfrac92;\,-2)\cup(3;\,+\infty)$$;
15) $$(-1;\,1)$$.