Упражнения на стр.135 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Просвещение:

1. $$\frac{2x+1}{x-1}>0$$

   Дробь положительна, когда числитель и знаменатель одного знака:

   $$2x+1>0,\ x-1>0 \quad \text{или} \quad 2x+1<0,\ x-1<0.$$

   Отсюда:
   $$x>-\frac12,\ x>1 \quad \text{или} \quad x<-\frac12,\ x<1.$$

   С учётом знаков получаем:
   $$x<-\frac12 \quad \text{или} \quad x>1.$$

2. $$\frac{x-2}{x+3}>\frac12$$

   Перенесём всё в одну дробь:
   $$\frac{2(x-2)-(x+3)}{2(x+3)}>0.$$

   $$\frac{x-7}{x+3}>0.$$

   Дробь положительна, когда числитель и знаменатель одного знака:
   $$x<-3 \quad \text{или} \quad x>7.$$

3. $$\frac{1}{x+2}<\frac{3}{x-3}$$

   Перенесём в одну дробь:
   $$\frac{(x-3)-3(x+2)}{(x+2)(x-3)}<0.$$

   $$\frac{-2x-9}{(x+2)(x-3)}<0,$$
   значит
   $$\frac{2x+9}{(x+2)(x-3)}>0.$$

   Критические точки: $$x=-\frac92,\ -2,\ 3.$$
   Знак дроби положителен на промежутках
   $$\left(-\frac92,-2\right)\cup(3,+\infty).$$

4. $$\frac{4}{x+1}+\frac{2}{1-x}<1$$

   Приведём к общему знаменателю:
   $$\frac{4(1-x)+2(x+1)-(x+1)(1-x)}{(x+1)(1-x)}<0.$$

   Числитель:
   $$4-4x+2x+2-(1-x^2)=x^2-2x+5.$$

   Тогда
   $$\frac{x^2-2x+5}{(x+1)(1-x)}<0.$$

   Так как $$x^2-2x+5>0$$ при всех $$x$$, то нужно, чтобы
   $$(x+1)(1-x)<0.$$

   Отсюда:
   $$x<-1 \quad \text{или} \quad x>1.$$

Ответ

1) $$\left(-\infty;-\frac12\right)\cup(1;+\infty)$$
2) $$(-\infty;-3)\cup(7;+\infty)$$
3) $$\left(-\frac92;-2\right)\cup(3;+\infty)$$
4) $$(-\infty;-1)\cup(1;+\infty)$$