Упр.989 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Просвещение: Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 41 см, а его площадь — 180 см^2. Найдите катеты треугольника.

Обозначим катеты прямоугольного треугольника через $$x$$ и $$y$$.

По условию площадь равна $$180\text{ см}^2$$, значит

$$\frac{1}{2}xy=180,$$

откуда

$$xy=360.$$

По теореме Пифагора:

$$x^2+y^2=41^2=1681.$$

Подставим $$y=\frac{360}{x}$$ в уравнение Пифагора:

$$x^2+\left(\frac{360}{x}\right)^2=1681.$$

Умножим на $$x^2$$:

$$x^4-1681x^2+129600=0.$$

Положим $$t=x^2$$. Тогда получаем квадратное уравнение:

$$t^2-1681t+129600=0.$$

Найдём корни:

$$D=1681^2-4\cdot129600=2307361=1519^2,$$

$$t_{1,2}=\frac{1681\pm1519}{2}.$$

Тогда

$$t_1=1600,\quad t_2=81.$$

Следовательно,

$$x=40,\quad y=9$$

или

$$x=9,\quad y=40.$$

Значит, катеты треугольника равны $$9\text{ см}$$ и $$40\text{ см}$$.

Ответ

$$9\text{ см и }40\text{ см}$$