Упр.988 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Просвещение: Диагональ прямоугольника равна 17 см, а его площадь — 120 см^2. Найдите стороны прямоугольника.

Пусть $$a$$ и $$b$$ — стороны прямоугольника. Тогда по условию

$$ab=120,$$

а по теореме Пифагора для диагонали:

$$a^2+b^2=17^2=289.$$

Выразим $$a$$ через $$b$$:

$$a=\frac{120}{b}.$$

Подставим в первое уравнение:

$$\left(\frac{120}{b}\right)^2+b^2=289.$$

Умножим на $$b^2$$:

$$14400+b^4=289b^2,$$

$$b^4-289b^2+14400=0.$$

Обозначим $$t=b^2$$. Тогда получаем квадратное уравнение:

$$t^2-289t+14400=0.$$

Найдём дискриминант:

$$D=289^2-4\cdot14400=83521-57600=25921=161^2.$$

Тогда

$$t_{1,2}=\frac{289\pm161}{2}.$$

Получаем:

$$t_1=225,\quad t_2=64.$$

Значит,

$$b^2=225 \Rightarrow b=15,$$

или

$$b^2=64 \Rightarrow b=8.$$

Тогда соответствующие значения второй стороны:

$$a=\frac{120}{15}=8,$$

$$a=\frac{120}{8}=15.$$

Следовательно, стороны прямоугольника равны $$8$$ см и $$15$$ см.

Ответ

$$8\text{ см и }15\text{ см}$$