Упр.987 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

1) система
х — у = 2,
хy = а;
2) система
x^2 + у^2 = 6,
х + y = а?

1. Из первого уравнения получаем:

   $$x-y=2 \Rightarrow x=y+2.$$

   Подставим во второе уравнение:

   $$x y=a \Rightarrow y(y+2)=a.$$

   Получаем квадратное уравнение относительно $$y$$:

   $$y^2+2y-a=0.$$

   Чтобы система имела единственное решение, это уравнение должно иметь один корень, то есть его дискриминант равен нулю:

   $$D=2^2-4\cdot 1\cdot(-a)=4+4a=0.$$

   $$a=-1.$$

2. Из второго уравнения выразим:

   $$y=a-x.$$

   Подставим в первое уравнение:

   $$x^2+(a-x)^2=6.$$

   Раскроем скобки:

   $$x^2+a^2-2ax+x^2=6,$$

   $$2x^2-2ax+a^2-6=0.$$

   Это квадратное уравнение относительно $$x$$. Для единственного решения его дискриминант должен быть равен нулю:

   $$D=(-2a)^2-4\cdot 2\cdot(a^2-6)=0.$$

   $$4a^2-8a^2+48=0,$$

   $$-4a^2+48=0,$$

   $$a^2=12,$$

   $$a=\pm 2\sqrt{3}.$$

Ответ

1) $$a=-1$$; 2) $$a=\pm 2\sqrt{3}$$.