Упр.986 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)
1) прямой Зх — у — 5 = 0 и параболы у = 2/3х^2 — 2х + 4;
2) прямой 2х — 3y -3 = 0 и гиперболы xу = 3;
3) окружности х^2 + у^2 = 13 и гиперболы хy = 6.
Найдём точки пересечения прямой $$3x-y-5=0$$ и параболы $$y=\frac{2}{3}x^2-2x+4$$.
Из первого уравнения:
$$y=3x-5$$
Подставим во второе:
$$3x-5=\frac{2}{3}x^2-2x+4$$
$$\frac{2}{3}x^2-5x+9=0$$
$$2x^2-15x+27=0$$
$$D=15^2-4\cdot 2\cdot 27=225-216=9$$
$$x_{1,2}=\frac{15\pm 3}{4}$$
$$x_1=3,\quad x_2=\frac{9}{2}$$
Найдём соответствующие значения $$y$$:
$$y_1=3\cdot 3-5=4$$
$$y_2=3\cdot \frac{9}{2}-5=\frac{17}{2}$$
Точки пересечения: $$\left(3;4\right)$$ и $$\left(\frac{9}{2};\frac{17}{2}\right)$$.
Найдём точки пересечения прямой $$2x-3y-3=0$$ и гиперболы $$xy=3$$.
Из первого уравнения:
$$x=\frac{3y+3}{2}$$
Подставим во второе:
$$\frac{3y+3}{2}\cdot y=3$$
$$3y^2+3y=6$$
$$y^2+y-2=0$$
$$\left(y-1\right)\left(y+2\right)=0$$
$$y_1=1,\quad y_2=-2$$
Найдём соответствующие значения $$x$$:
при $$y=1$$:
$$x=\frac{3\cdot 1+3}{2}=3$$
при $$y=-2$$:
$$x=\frac{3\cdot (-2)+3}{2}=-\frac{3}{2}$$
Точки пересечения: $$\left(3;1\right)$$ и $$\left(-\frac{3}{2};-2\right)$$.
Найдём точки пересечения окружности $$x^2+y^2=13$$ и гиперболы $$xy=6$$.
Из второго уравнения:
$$y=\frac{6}{x}$$
Подставим в уравнение окружности:
$$x^2+\frac{36}{x^2}=13$$
$$x^4-13x^2+36=0$$
Обозначим $$t=x^2$$. Тогда:
$$t^2-13t+36=0$$
$$\left(t-4\right)\left(t-9\right)=0$$
$$t_1=4,\quad t_2=9$$
1) Если $$x^2=4$$, то $$x=\pm 2$$, а тогда $$y=\frac{6}{x}$$:
$$\left(2;3\right),\quad \left(-2;-3\right)$$
2) Если $$x^2=9$$, то $$x=\pm 3$$, а тогда $$y=\frac{6}{x}$$:
$$\left(3;2\right),\quad \left(-3;-2\right)$$
Точки пересечения: $$\left(2;3\right)$$, $$\left(-2;-3\right)$$, $$\left(3;2\right)$$, $$\left(-3;-2\right)$$.
Ответ
1) $$\left(3;4\right),\ \left(\frac{9}{2};\frac{17}{2}\right)$$; 2) $$\left(3;1\right),\ \left(-\frac{3}{2};-2\right)$$; 3) $$\left(2;3\right),\ \left(-2;-3\right),\ \left(3;2\right),\ \left(-3;-2\right)$$.
