Упр.985 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

1. Найдите решения системы уравнений:
   1) $$\begin{cases} x^2+y^2=5,\\ xy=2; \end{cases}$$
   2) $$\begin{cases} xy+x+y=11,\\ xy(x+y)=30; \end{cases}$$
   3) $$\begin{cases} x+xy+y=5,\\ x-xy+y=1; \end{cases}$$
   4) $$\begin{cases} x-y=2,\\ \frac{x}{y}-\frac{y}{x}=\frac{5}{6}. \end{cases}$$

1. $$\begin{cases} x^2+y^2=5,\\ xy=2. \end{cases}$$

   Из второго уравнения $$y=\dfrac{2}{x}$$. Подставим в первое:

   $$x^2+\frac{4}{x^2}=5.$$

   Умножим на $$x^2$$:

   $$x^4-5x^2+4=0.$$

   Положим $$t=x^2$$. Тогда

   $$t^2-5t+4=0,\quad (t-1)(t-4)=0.$$

   Отсюда $$t=1$$ или $$t=4$$, то есть

   $$x=\pm 1 \quad \text{или} \quad x=\pm 2.$$

   Тогда соответственно

   $$y=\frac{2}{x} \Rightarrow (1,2),\,(-1,-2),\,(2,1),\,(-2,-1).$$

2. $$\begin{cases} xy+x+y=11,\\ xy(x+y)=30. \end{cases}$$

   Обозначим $$a=x+y$$, $$b=xy$$. Тогда

   $$\begin{cases} a+b=11,\\ ab=30. \end{cases}$$

   Следовательно, $$a$$ и $$b$$ — корни уравнения

   $$t^2-11t+30=0,$$

   откуда $$t=5$$ или $$t=6$$.

   1) Если $$x+y=6$$ и $$xy=5$$, то

   $$x(6-x)=5 \Rightarrow x^2-6x+5=0,$$

   $$x=1 \text{ или } x=5.$$

   Получаем точки $$(1,5)$$ и $$(5,1)$$.

   2) Если $$x+y=5$$ и $$xy=6$$, то

   $$x(5-x)=6 \Rightarrow x^2-5x+6=0,$$

   $$x=2 \text{ или } x=3.$$

   Получаем точки $$(2,3)$$ и $$(3,2)$$.

3. $$\begin{cases} x+xy+y=5,\\ x-xy+y=1. \end{cases}$$

   Сложим уравнения:

   $$2x+2y=6 \Rightarrow x+y=3.$$

   Тогда $$y=3-x$$. Подставим во второе уравнение:

   $$x-x(3-x)+(3-x)=1,$$

   $$x^2-3x+2=0.$$

   $$(x-1)(x-2)=0,$$

   значит, $$x=1$$ или $$x=2$$.

   Тогда $$y=2$$ или $$y=1$$ соответственно.

4. $$\begin{cases} x-y=2,\\ \dfrac{x}{y}-\dfrac{y}{x}=\dfrac{5}{6}. \end{cases}$$

   Так как $$x-y=2$$, то $$x=y+2$$. Подставим во второе уравнение:

   $$\frac{y+2}{y}-\frac{y}{y+2}=\frac{5}{6}.$$

   Умножим на $$6y(y+2)$$:

   $$6(y+2)^2-6y^2=5y(y+2).$$

   После упрощения получаем

   $$5y^2-14y-24=0.$$

   $$D=14^2+4\cdot 5\cdot 24=676,\quad \sqrt{D}=26.$$

   $$y=\frac{14\pm 26}{10}.$$

   Отсюда $$y=4$$ или $$y=-\dfrac{6}{5}$$.

   Тогда $$x=6$$ или $$x=\dfrac{4}{5}$$.

Ответ

1) $$(-1,-2),\ (1,2),\ (-2,-1),\ (2,1)$$;

2) $$(1,5),\ (5,1),\ (2,3),\ (3,2)$$;

3) $$(1,2),\ (2,1)$$;

4) $$(6,4),\ \left(\dfrac{4}{5},-\dfrac{6}{5}\right)$$.