Упр.985 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

Задача

1) система
x^2 + y^2 = 5,
xy = 2;
2) система
ху + x + у = 11,
хy(х + y) = 30;
3) система
х + ху + у = 5,
х — ху + у = 1;
4) система
х — y = 2,
х/y — y/x = 5/6.

Подробный ответ

$$ \begin{cases} x^2+y^2=5,\\ xy=2. \end{cases} $$
Из второго уравнения $$y=\dfrac{2}{x}$$. Подставим в первое:
$$ x^2+\frac{4}{x^2}=5. $$
Умножим на $$x^2$$:
$$ x^4-5x^2+4=0. $$
Положим $$t=x^2$$. Тогда
$$ t^2-5t+4=0,\quad (t-1)(t-4)=0. $$
Отсюда $$t=1$$ или $$t=4$$, то есть
$$ x=\pm 1 \quad \text{или} \quad x=\pm 2. $$
Тогда соответственно
$$ y=\frac{2}{x} \Rightarrow (1,2),\,(-1,-2),\,(2,1),\,(-2,-1). $$
$$ \begin{cases} xy+x+y=11,\\ xy(x+y)=30. \end{cases} $$
Обозначим $$a=x+y$$, $$b=xy$$. Тогда
$$ \begin{cases} a+b=11,\\ ab=30. \end{cases} $$
Следовательно, $$a$$ и $$b$$ — корни уравнения
$$ t^2-11t+30=0, $$
откуда $$t=5$$ или $$t=6$$.
1) Если $$x+y=6$$ и $$xy=5$$, то
$$ x(6-x)=5 \Rightarrow x^2-6x+5=0, $$
$$ x=1 \text{ или } x=5. $$
Получаем точки $$ (1,5) $$ и $$ (5,1) $$.
2) Если $$x+y=5$$ и $$xy=6$$, то
$$ x(5-x)=6 \Rightarrow x^2-5x+6=0, $$
$$ x=2 \text{ или } x=3. $$
Получаем точки $$ (2,3) $$ и $$ (3,2) $$.
$$ \begin{cases} x+xy+y=5,\\ x-xy+y=1. \end{cases} $$
Сложим уравнения:
$$ 2x+2y=6 \Rightarrow x+y=3. $$
Тогда $$y=3-x$$. Подставим во второе уравнение:
$$ x-x(3-x)+(3-x)=1, $$
$$ x^2-3x+2=0. $$
$$ (x-1)(x-2)=0, $$
значит, $$x=1$$ или $$x=2$$.
Тогда $$y=2$$ или $$y=1$$ соответственно.
$$ \begin{cases} x-y=2,\\ \dfrac{x}{y}-\dfrac{y}{x}=\dfrac{5}{6}. \end{cases} $$
Так как $$x-y=2$$, то $$x=y+2$$. Подставим во второе уравнение:
$$ \frac{y+2}{y}-\frac{y}{y+2}=\frac{5}{6}. $$
Умножим на $$6y(y+2)$$:
$$ 6(y+2)^2-6y^2=5y(y+2). $$
После упрощения получаем
$$ 5y^2-14y-24=0. $$
$$ D=14^2+4\cdot 5\cdot 24=676,\quad \sqrt{D}=26. $$
$$ y=\frac{14\pm 26}{10}. $$
Отсюда $$y=4$$ или $$y=-\dfrac{6}{5}$$.
Тогда $$x=6$$ или $$x=\dfrac{4}{5}$$.