Упр.984 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

1) система
х — 4у = -6,
х^2 + 4у^2 = 8;
2) система
3х + у = -2,
Зх^2 — 2ху = 28;
3) система
х + 2у = 13,
xy = 15;
4) система
Зх — 2у = 18,
xy = -12;

Решение

1. Из первого уравнения выразим $$x$$:
   $$x=4y-6.$$
   Подставим во второе уравнение:
   $$ (4y-6)^2+4y^2=8 $$
   $$ 16y^2-48y+36+4y^2=8 $$
   $$ 20y^2-48y+28=0 $$
   $$ 5y^2-12y+7=0. $$
   Найдём корни:
   $$ D=12^2-4\cdot 5\cdot 7=144-140=4. $$
   $$ y=\frac{12\pm 2}{10}. $$
   Тогда
   $$y_1=1,\quad y_2=\frac{7}{5}.$$
   Находим $$x$$:
   $$ x_1=4\cdot 1-6=-2,\qquad x_2=4\cdot \frac{7}{5}-6=-\frac{2}{5}. $$

   Ответ: $$(-2;\,1),\left(-\frac{2}{5};\,\frac{7}{5}\right).$$

2. Из первого уравнения выразим $$y$$:
   $$y=-3x-2.$$
   Подставим во второе:
   $$ 3x^2-2x(-3x-2)=28 $$
   $$ 3x^2+6x^2+4x=28 $$
   $$ 9x^2+4x-28=0. $$
   Найдём корни:
   $$ D=4^2-4\cdot 9\cdot(-28)=16+1008=1024. $$
   $$ x=\frac{-4\pm 32}{18}. $$
   Тогда
   $$x_1=\frac{14}{9},\quad x_2=-2.$$
   Находим $$y$$:
   $$ y_1=-3\cdot \frac{14}{9}-2=-\frac{20}{3},\qquad y_2=-3\cdot(-2)-2=4. $$

   Ответ: $$\left(\frac{14}{9};\,-\frac{20}{3}\right),\,(-2;\,4).$$

3. Из первого уравнения:
   $$x=13-2y.$$
   Подставим во второе:
   $$ y(13-2y)=15 $$
   $$ 2y^2-13y+15=0. $$
   Найдём корни:
   $$ D=13^2-4\cdot 2\cdot 15=169-120=49. $$
   $$ y=\frac{13\pm 7}{4}. $$
   Тогда
   $$y_1=5,\quad y_2=\frac{3}{2}.$$
   Находим $$x$$:
   $$ x_1=13-2\cdot 5=3,\qquad x_2=13-2\cdot \frac{3}{2}=10. $$

   Ответ: $$(3;\,5),\,(10;\,\tfrac{3}{2}).$$

4. Из первого уравнения:
   $$2y=3x-18,\qquad y=\frac{3x-18}{2}.$$
   Подставим во второе:
   $$ x\cdot \frac{3x-18}{2}=-12 $$
   $$ 3x^2-18x=-24 $$
   $$ 3x^2-18x+24=0 $$
   $$ x^2-6x+8=0. $$
   Тогда
   $$ (x-2)(x-4)=0, $$
   значит,
   $$x_1=2,\quad x_2=4.$$
   Находим $$y$$:
   $$ y_1=\frac{3\cdot 2-18}{2}=-6,\qquad y_2=\frac{3\cdot 4-18}{2}=-3. $$

   Ответ: $$(2;\,-6),\,(4;\,-3).$$

5. Из второго уравнения:
   $$y=-x-3.$$
   Подставим в первое:
   $$ x^2-(-x-3)^2=21 $$
   $$ x^2-(x^2+6x+9)=21 $$
   $$ -6x-9=21 $$
   $$ x=-5. $$
   Тогда
   $$y=-(-5)-3=2.$$

   Ответ: $$(-5;\,2).$$

6. Из второго уравнения:
   $$y=x-1.$$
   Подставим в первое:
   $$ x^2-x(x-1)+(x-1)^2=7 $$
   $$ x^2-x^2+x+x^2-2x+1=7 $$
   $$ x^2-x-6=0 $$
   $$ (x-3)(x+2)=0. $$
   Тогда
   $$x_1=-2,\quad x_2=3.$$
   Находим $$y$$:
   $$ y_1=-2-1=-3,\qquad y_2=3-1=2. $$

   Ответ: $$(-2;\,-3),\,(3;\,2).$$

7. Из второго уравнения:
   $$y=1-x.$$
   Подставим в первое:
   $$ (x-1)\bigl((1-x)-1\bigr)=-2 $$
   $$ (x-1)(-x)=-2 $$
   $$ x^2-x-2=0 $$
   $$ (x-2)(x+1)=0. $$
   Тогда
   $$x_1=2,\quad x_2=-1.$$
   Находим $$y$$:
   $$ y_1=1-2=-1,\qquad y_2=1-(-1)=2. $$

   Ответ: $$(2;\,-1),\,(-1;\,2).$$

8. Из второго уравнения:
   $$y=x-3.$$
   Подставим в первое:
   $$ (x-2)\bigl((x-3)+1\bigr)=1 $$
   $$ (x-2)^2=1 $$
   $$ x-2=\pm 1. $$
   Тогда
   $$x_1=1,\quad x_2=3.$$
   Находим $$y$$:
   $$ y_1=1-3=-2,\qquad y_2=3-3=0. $$

   Ответ: $$(1;\,-2),\,(3;\,0).$$

9. Из второго уравнения:
   $$y=12-x.$$
   Подставим в первое:
   $$ \frac{1}{x}+\frac{1}{12-x}=\frac{3}{8}. $$
   Умножим на $$8x(12-x)$$:
   $$ 8(12-x)+8x=3x(12-x) $$
   $$ 96=36x-3x^2 $$
   $$ 3x^2-36x+96=0 $$
   $$ x^2-12x+32=0 $$
   $$ (x-4)(x-8)=0. $$
   Тогда
   $$x_1=4,\quad x_2=8.$$
   Находим $$y$$:
   $$ y_1=12-4=8,\qquad y_2=12-8=4. $$

   Ответ: $$(4;\,8),\,(8;\,4).$$

10. Из второго уравнения:
    $$y=x+4.$$
    Подставим в первое:
    $$ \frac{1}{x}-\frac{1}{x+4}=\frac{4}{5}. $$
    Приведём к общему знаменателю:
    $$ \frac{4}{x(x+4)}=\frac{4}{5} $$
    $$ 5=x(x+4) $$
    $$ x^2+4x-5=0 $$
    $$ (x-1)(x+5)=0. $$
    Тогда
    $$x_1=1,\quad x_2=-5.$$
    Находим $$y$$:
    $$ y_1=1+4=5,\qquad y_2=-5+4=-1. $$

    Ответ: $$(1;\,5),\,(-5;\,-1).$$