Упр.983 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

Задача

1) система
у — х^2 =3,
х + у = 5;
2) система
х — у = 7,
ху = -12;
3) система
y = х^2 — 4,
y = -х^2 + 4х — 4;
4) система
х^2 + у^2 = 25,
y = х^2 — 5.

Подробный ответ

$$\begin{cases} y-x^2=3,\\ x+y=5 \end{cases}$$
Тогда
$$y=x^2+3,\qquad y=5-x.$$
Найдём точки пересечения:
$$x^2+3=5-x,$$
$$x^2+x-2=0,$$
$$\left(x+2\right)\left(x-1\right)=0.$$
Отсюда
$$x=-2 \text{ или } x=1.$$
Тогда
$$y=5-(-2)=7,\qquad y=5-1=4.$$
Получаем точки:
$$(-2;7),\ (1;4).$$
$$\begin{cases} x-y=7,\\ xy=-12 \end{cases}$$
Тогда
$$y=x-7,\qquad y=-\frac{12}{x}.$$
Приравняем:
$$x-7=-\frac{12}{x}.$$
Умножим на $$x$$:
$$x^2-7x=-12,$$
$$x^2-7x+12=0,$$
$$\left(x-3\right)\left(x-4\right)=0.$$
Значит,
$$x=3 \text{ или } x=4.$$
Тогда
$$y=3-7=-4,\qquad y=4-7=-3.$$
Получаем точки:
$$\left(3;-4\right),\ \left(4;-3\right).$$
$$\begin{cases} y=x^2-4,\\ y=-x^2+4x-4 \end{cases}$$
Преобразуем второе уравнение:
$$y=-x^2+4x-4=-(x^2-4x+4)=-(x-2)^2.$$
Найдём точки пересечения:
$$x^2-4=-x^2+4x-4,$$
$$2x^2-4x=0,$$
$$2x\left(x-2\right)=0.$$
Отсюда
$$x=0 \text{ или } x=2.$$
Тогда
$$y=0^2-4=-4,\qquad y=2^2-4=0.$$
Получаем точки:
$$(0;-4),\ (2;0).$$
$$\begin{cases} x^2+y^2=25,\\ y=x^2-5 \end{cases}$$
Подставим $$y=x^2-5$$ в первое уравнение:
$$x^2+\left(x^2-5\right)^2=25.$$
Обозначим $$t=x^2$$. Тогда
$$t+\left(t-5\right)^2=25,$$
$$t+t^2-10t+25=25,$$
$$t^2-9t=0,$$
$$t\left(t-9\right)=0.$$
Значит,
$$t=0 \text{ или } t=9.$$
Тогда
$$x^2=0 \Rightarrow x=0,\qquad y=0-5=-5;$$
$$x^2=9 \Rightarrow x=\pm 3,\qquad y=9-5=4.$$
Получаем точки:
$$(-3;4),\ (0;-5),\ (3;4).$$