Упр.982 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

Задача

1) 5х^2 — х + а > 0;
2) ах^2 — 10х — 5 < 0; 3) ах^2 - 2(а - 1)х + 4а <= 0; 4) (а - 1)x^2 - (а + 1)х + а + 1 > 0?

Подробный ответ

$$5x^2-x+a>0$$
Чтобы неравенство было верно при всех $$x\in\mathbb{R}$$, квадратный трёхчлен должен быть положительным при всех значениях $$x$$. Так как старший коэффициент $$5>0$$, достаточно, чтобы дискриминант был отрицательным:
$$D=(-1)^2-4\cdot 5\cdot a<0$$
$$1-20a<0$$
$$a>\frac{1}{20}$$
$$ax^2-10x-5<0$$
Чтобы неравенство было верно при всех $$x\in\mathbb{R}$$, парабола должна быть направлена вниз, то есть
$$a<0.$$
Кроме того, дискриминант должен быть отрицательным:
$$D=(-10)^2-4\cdot a\cdot(-5)<0$$
$$100+20a<0$$
$$a<-5$$
Это условие уже включает $$a<0$$, значит:
$$a<-5$$
$$ax^2-2(a-1)x+4a\le 0$$
Чтобы неравенство было верно при всех $$x\in\mathbb{R}$$, парабола должна быть направлена вниз или вырождена, а дискриминант не должен быть положительным.
Сначала найдём дискриминант:
$$D=\bigl(-2(a-1)\bigr)^2-4\cdot a\cdot 4a$$
$$D=4(a-1)^2-16a^2$$
$$D=4(a^2-2a+1-4a^2)$$
$$D=4(-3a^2-2a+1)\le 0$$
$$3a^2+2a-1\ge 0$$
$$3a^2+2a-1=(3a-1)(a+1)\ge 0$$
Отсюда
$$a\le -1 \quad \text{или} \quad a\ge \frac13.$$
Но для выполнения неравенства при всех $$x$$ нужно, чтобы старший коэффициент был неположительным:
$$a\le 0.$$
Пересечение условий даёт:
$$a\le -1.$$
$$\left(a-1\right)x^2-\left(a+1\right)x+a+1>0$$
Чтобы неравенство было верно при всех $$x\in\mathbb{R}$$, нужно:
$$a-1>0,$$
$$D<0.$$
Найдём дискриминант:
$$D=\left(a+1\right)^2-4\left(a-1\right)\left(a+1\right)$$
$$D=a^2+2a+1-4(a^2-1)$$
$$D=-3a^2+2a+5<0$$
$$3a^2-2a-5>0$$
$$3a^2-2a-5=(3a-5)(a+1)>0$$
Отсюда
$$a<-1 \quad \text{или} \quad a>\frac53.$$
С учётом условия $$a>1$$ получаем:
$$a>\frac53.$$