Упр.975 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Просвещение: При каком значении а сумма квадратов корней уравнения x^2 + ах + а — 2 = 0 будет принимать наименьшее значение?

Обозначим корни уравнения $$x^2+ax+a-2=0$$ через $$x_1$$ и $$x_2$$. По теореме Виета:

$$x_1+x_2=-a,\qquad x_1x_2=a-2.$$

Найдём сумму квадратов корней:

$$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2.$$

Подставим выражения из теоремы Виета:

$$x_1^2+x_2^2=a^2-2(a-2)=a^2-2a+4.$$

Получили квадратный трёхчлен $$a^2-2a+4$$. Его наименьшее значение достигается в вершине параболы:

$$a_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{-2}{2\cdot 1}=1.$$

При этом

$$x_1^2+x_2^2=1^2-2\cdot 1+4=3.$$

Ответ

$$a=1$$