Упр.972 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

Найдите коэффициенты а, b и с.

Запишем функцию в виде $$y=ax^2+bx+c.$$

Так как при $$x=-1$$ значение функции равно $$0$$, получаем:

$$a(-1)^2+b(-1)+c=0,$$

то есть

$$a-b+c=0.$$

Наименьшее значение квадратичной функции достигается в вершине параболы. Значит, вершина имеет координаты $$\left(\frac14;-\frac{25}{8}\right).$$

Абсцисса вершины:

$$x_0=-\frac{b}{2a}=\frac14,$$

откуда

$$b=-\frac{a}{2}.$$

Подставим это в уравнение $$a-b+c=0$$:

$$a-\left(-\frac{a}{2}\right)+c=0,$$

$$\frac{3a}{2}+c=0,$$

$$c=-\frac{3a}{2}.$$

Теперь используем значение функции в вершине:

$$a\left(\frac14\right)^2+b\left(\frac14\right)+c=-\frac{25}{8}.$$

Подставим $$b=-\frac{a}{2}$$ и $$c=-\frac{3a}{2}$$:

$$\frac{a}{16}-\frac{a}{8}-\frac{3a}{2}=-\frac{25}{8}.$$

Приведём к общему знаменателю:

$$\frac{a}{16}-\frac{2a}{16}-\frac{24a}{16}=-\frac{25}{8},$$

$$-\frac{25a}{16}=-\frac{25}{8}.$$

Тогда

$$a=2.$$

Найдём остальные коэффициенты:

$$b=-\frac{a}{2}=-1,$$

$$c=-\frac{3a}{2}=-3.$$

Ответ

$$a=2,\quad b=-1,\quad c=-3.$$