Упр.969 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

1) имеет с осью абсцисс только одну общую точку;
2) не имеет с осью абсцисс общих точек;
3) пересекает ось абсцисс в точках, расстояние между которыми равно 4?

1. Чтобы график функции $$y=x^2+bx+2$$ имел с осью абсцисс только одну общую точку, квадратное уравнение

   $$x^2+bx+2=0$$

   должно иметь один корень, то есть $$D=0$$.

   $$D=b^2-4\cdot 1\cdot 2=b^2-8=0$$

   $$b^2=8$$

   $$b=\pm 2\sqrt2$$

2. Чтобы график не имел общих точек с осью абсцисс, уравнение

   $$x^2+bx+2=0$$

   не должно иметь действительных корней, то есть $$D<0$$.

   $$b^2-8<0$$

   $$b^2<8$$

   $$-2\sqrt2<b<2\sqrt2$$

3. Пусть точки пересечения с осью абсцисс имеют абсциссы $$x_1$$ и $$x_2$$, причём

   $$x_2-x_1=4$$

   По теореме Виета:

   $$x_1+x_2=-b,\qquad x_1x_2=2$$

   Положим $$x_1=k$$, тогда $$x_2=k+4$$. Получаем систему:

   $$ \begin{cases} k(k+4)=2,\\ b=-(k+k+4). \end{cases} $$

   Из первого уравнения:

   $$k^2+4k-2=0$$

   $$D=16+8=24$$

   $$k=\frac{-4\pm\sqrt{24}}{2}=-2\pm\sqrt6$$

   Тогда

   $$b=-2k-4$$

   Если $$k=-2-\sqrt6$$, то

   $$b=-2(-2-\sqrt6)-4=2\sqrt6$$

   Если $$k=-2+\sqrt6$$, то

   $$b=-2(-2+\sqrt6)-4=-2\sqrt6$$

   Значит, $$b=\pm 2\sqrt6$$.

Ответ

1) $$b=\pm 2\sqrt2$$; 2) $$-2\sqrt2<b<2\sqrt2$$; 3) $$b=\pm 2\sqrt6$$.