Упр.957 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Просвещение: При каких значениях а уравнение х^2 — (2а + 2)х — 2а — 3 = 0 имеет два различных отрицательных корня? *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 9 merzlyak9 957 95

Рассмотрим квадратное уравнение

$$x^2-(2a+2)x-2a-3=0.$$

Чтобы оно имело два различных отрицательных корня, нужно, чтобы:

1) дискриминант был положительным;

2) оба корня были отрицательными.

Найдём дискриминант:

$$D=(2a+2)^2-4\cdot 1\cdot(-2a-3)=4(a+1)^2+8a+12=4(a^2+4a+4)=4(a+2)^2.$$

Тогда корни:

$$x_{1,2}=\frac{2a+2\pm 2(a+2)}{2}.$$

Получаем:

$$x_1=\frac{2a+2-2a-4}{2}=-1,$$

$$x_2=\frac{2a+2+2a+4}{2}=2a+3.$$

Так как один из корней равен $$-1,$$ он всегда отрицательный. Чтобы второй корень тоже был отрицательным, нужно

$$2a+3<0,$$

откуда

$$a<-\frac{3}{2}.$$

Кроме того, корни должны быть различными, значит

$$-1\ne 2a+3,$$

то есть

$$a\ne -2.$$

Итак, при

$$a<-\frac{3}{2},\quad a\ne -2$$

уравнение имеет два различных отрицательных корня.

Ответ

$$(-\infty;-2)\cup(-2;-\frac{3}{2}).$$