Упр.948 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

Равносильны ли неравенства:

1. $$\frac{x+1}{2}+\frac{x-1}{3}<1$$ и $$3(x+1)+2(x-1)<1$$;
2. $$(x+3)(x^2+4)>0$$ и $$x+3>0$$;
3. $$x-1>3$$ и $$x-1+\frac{1}{x-5}>3+\frac{1}{x-5}$$;
4. $$x+2<1$$ и $$x+2+\frac{1}{x}<1+\frac{1}{x}$$?

1. Сравним множества решений неравенств

   $$\frac{x+1}{2}+\frac{x-1}{3}<1$$

   и

   $$3(x+1)+2(x-1)<1.$$

   Первое неравенство умножим на $$6$$:

   $$3(x+1)+2(x-1)<6.$$

   Получаем разные неравенства, значит, они неравносильны.

2. Рассмотрим неравенства

   $$(x+3)(x^2+4)>0$$

   и

   $$x+3>0.$$

   Так как $$x^2+4>0$$ при любом $$x$$, то первое неравенство равносильно неравенству

   $$x+3>0.$$

   Следовательно, неравенства равносильны.

3. Сравним неравенства

   $$x-1>3$$

   и

   $$x-1+\frac{1}{x-5}>3+\frac{1}{x-5}.$$

   Во втором неравенстве нужно учитывать ОДЗ: $$x\ne 5$$. Вычтем из обеих частей $$\frac{1}{x-5}$$:

   $$x-1>3,\quad x\ne 5.$$

   Но второе неравенство задаёт решение $$x>4,\ x\ne 5$$, то есть $$x\in(4;5)\cup(5;+\infty)$$, а первое — $$x>4$$.

   Множества решений различны, значит, неравенства неравносильны.

4. Сравним неравенства

   $$x+2<1$$

   и

   $$x+2+\frac{1}{x}<1+\frac{1}{x}.$$

   Во втором неравенстве учитываем ОДЗ: $$x\ne 0$$. Вычтем из обеих частей $$\frac{1}{x}$$:

   $$x+2<1,\quad x\ne 0.$$

   Решения совпадают с учётом ОДЗ: $$x<-1$$, $$x\ne 0$$, то есть $$x\in(-\infty;-1)$$.

   Следовательно, неравенства равносильны.

Ответ

1) неравносильны; 2) равносильны; 3) неравносильны; 4) равносильны.