Упр.948 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

Задача

1) (x + 1)/2 + (x — 1)/3 < 1 и З(х + 1) + 2(х - 1) < 1; 2) (х + З)(х^2 + 4) > 0 и х + 3 > 0;
3) х — 1 > 3 и х — 1 + 1/(x — 5) > 3 + 1/(x — 5);
4) х + 2 < 1 и х + 2 + 1/x < 1 + 1/x?

Подробный ответ

Сравним множества решений неравенств
$$\frac{x+1}{2}+\frac{x-1}{3}<1$$
и
$$3(x+1)+2(x-1)<1.$$
Первое неравенство умножим на $$6$$:
$$3(x+1)+2(x-1)<6.$$
Получаем разные неравенства, значит, они неравносильны.
Рассмотрим неравенства
$$ (x+3)(x^2+4)>0 $$
и
$$x+3>0.$$
Так как $$x^2+4>0$$ при любом $$x$$, то первое неравенство равносильно неравенству
$$x+3>0.$$
Следовательно, неравенства равносильны.
Сравним неравенства
$$x-1>3$$
и
$$x-1+\frac{1}{x-5}>3+\frac{1}{x-5}.$$
Во втором неравенстве нужно учитывать ОДЗ: $$x\ne 5$$. Вычтем из обеих частей $$\frac{1}{x-5}$$:
$$x-1>3,\quad x\ne 5.$$
Но второе неравенство задаёт решение $$x>4,\ x\ne 5$$, то есть $$x\in(4;5)\cup(5;+\infty)$$, а первое — $$x>4$$.
Множества решений различны, значит, неравенства неравносильны.
Сравним неравенства
$$x+2<1$$
и
$$x+2+\frac{1}{x}<1+\frac{1}{x}.$$
Во втором неравенстве учитываем ОДЗ: $$x\ne 0$$. Вычтем из обеих частей $$\frac{1}{x}$$:
$$x+2<1,\quad x\ne 0.$$
Решения совпадают с учётом ОДЗ: $$x<-1$$, $$x\ne 0$$, то есть $$x\in(-\infty;-1)$$.
Следовательно, неравенства равносильны.