Упр.932 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Просвещение: Докажите, что если а < b < 2, то а^2 b + 2b^2 + 4a < аb^2 + 2a^2 + 4b.

Рассмотрим разность левой и правой частей:

$$a^2b+2b^2+4a-ab^2-2a^2-4b$$

Сгруппируем слагаемые:

$$a^2b-ab^2-2a^2+2b^2+4a-4b$$

$$ab(a-b)-2a(a-b)+2b(b-a)+4(a-b)$$

$$ab(a-b)-2a(a-b)-2b(a-b)+4(a-b)$$

Вынесем общий множитель $$a-b$$:

$$ (a-b)(ab-2a-2b+4) $$

Преобразуем вторую скобку:

$$ab-2a-2b+4=a(b-2)-2(b-2)=(a-2)(b-2)$$

Тогда

$$ (a-b)(a-2)(b-2) $$

По условию $$a<b<2$$, значит

$$a-b<0,\quad a-2<0,\quad b-2<0.$$

Произведение трёх отрицательных чисел отрицательно, следовательно

$$ (a-b)(a-2)(b-2)<0.$$

Значит,

$$a^2b+2b^2+4a<ab^2+2a^2+4b.$$

Ответ

Доказано.