Упр.931 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Просвещение: Докажите, что если а > b > 1, то a^2 b + b^2 + а > ab^2 + а^2 + b.

Рассмотрим разность левой и правой частей:

$$a^2b+b^2+a-ab^2-a^2-b.$$

Сгруппируем слагаемые:

$$a^2b-ab^2-a^2+b^2+a-b$$

$$=ab(a-b)-a(a-b)+(b^2-b)$$

$$=(a-b)(ab-a)+(b-1)b.$$

Удобнее преобразовать так:

$$a^2b+b^2+a-ab^2-a^2-b$$

$$=ab(a-b)+(a-b)+(b^2-a^2)$$

$$=ab(a-b)+(a-b)-(a-b)(a+b)$$

$$=(a-b)(ab+1-a-b)$$

$$=(a-b)\bigl(a(b-1)-(b-1)\bigr)$$

$$=(a-b)(a-1)(b-1).$$

Так как $$a>b>1,$$ то

$$a-b>0,\quad a-1>0,\quad b-1>0.$$

Следовательно, произведение положительных множителей положительно:

$$a^2b+b^2+a-ab^2-a^2-b>0.$$

Значит,

$$a^2b+b^2+a>ab^2+a^2+b.$$

Ответ

$$a^2b+b^2+a>ab^2+a^2+b.$$