Упр.93 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Просвещение: Дмитрий хочет купить 2 кг груш по цене 118 р. за килограмм и 3 кг яблок ио цене 97 р. за килограмм. Располагая 600 р., Дмитрий сразу сообразил, что денег ему хватит. Как, но вашему мнению, он смог это быстро определить? Докажите, что для нечётных чисел а, b, с, d, e, f не может выполняться равенство 1/a + 1/b + 1/c + 1/d + 1/e + 1/f = 1.

1) Груши стоят меньше $$150$$ рублей за килограмм, значит $$2$$ кг груш стоят меньше $$2 \cdot 150 = 300$$ рублей.

Яблоки стоят меньше $$100$$ рублей за килограмм, значит $$3$$ кг яблок стоят меньше $$3 \cdot 100 = 300$$ рублей.

Тогда вся покупка стоит меньше $$300 + 300 = 600$$ рублей, значит, денег хватит.

2) Докажем, что для нечётных чисел $$a, b, c, d, e, f$$ равенство

$$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d}+\frac{1}{e}+\frac{1}{f}=1$$

невозможно.

Приведём левую часть к общему знаменателю:

$$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d}+\frac{1}{e}+\frac{1}{f}=\frac{bcdef+acdef+abdef+abcef+abcdf+abcde}{abcdef}.$$

Так как числа $$a, b, c, d, e, f$$ нечётные, то их произведение $$abcdef$$ — нечётное число. Каждый числитель в сумме вида $$bcdef, acdef, abdef, abcef, abcdf, abcde$$ — произведение пяти нечётных чисел, значит, тоже нечётный. Сумма шести нечётных чисел — чётное число, следовательно, числитель дроби чётный.

Получаем, что левая часть — дробь вида $$\frac{\text{чётное}}{\text{нечётное}}$$, а такая дробь не может равняться $$1$$.

Значит, равенство невозможно.

Ответ

Денег хватит, так как покупка стоит меньше $$600$$ рублей. Равенство $$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d}+\frac{1}{e}+\frac{1}{f}=1$$ для нечётных $$a, b, c, d, e, f$$ невозможно.