Упр.921 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

1. Постройте график функции $$y=\sqrt{x}+\frac{\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}}+\frac{\sqrt{x}}{(1+\sqrt{x})^2}+\ldots$$, где $$x>0$$.

Обозначим

$$S=\sqrt{x}+\frac{\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}}+\frac{\sqrt{x}}{(1+\sqrt{x})^2}+\cdots$$

Это бесконечная геометрическая прогрессия с первым членом $$a_1=\sqrt{x}$$ и знаменателем

$$q=\frac{1}{1+\sqrt{x}}.$$

Так как $$x>0,$$ то $$\sqrt{x}>0$$ и

$$0<q<1,$$

значит, сумма ряда существует:

$$S=\frac{a_1}{1-q}=\frac{\sqrt{x}}{1-\frac{1}{1+\sqrt{x}}}.$$

Упростим:

$$S=\frac{\sqrt{x}}{\frac{1+\sqrt{x}-1}{1+\sqrt{x}}} =\frac{\sqrt{x}(1+\sqrt{x})}{\sqrt{x}} =1+\sqrt{x}.$$

Следовательно, нужно построить график функции

$$y=\sqrt{x}+1,\quad x>0.$$

Это график функции $$y=\sqrt{x}$$, сдвинутый вверх на 1 единицу. Так как $$x>0,$$ точка $$\left(0;1\right)$$ не входит в график, поэтому она изображается выколотой.

Ответ

$$y=\sqrt{x}+1,\quad x>0.$$