Упр.920 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Просвещение: Постройте график функции у = х^2 + x^2/(1 + x^2) + x^2/(1 + x^2)^2 + …, где х не = 0.

Данная функция задана бесконечной геометрической прогрессией:

$$y=x^2+\frac{x^2}{1+x^2}+\frac{x^2}{(1+x^2)^2}+\cdots$$

Первый член прогрессии:

$$a_1=x^2,$$

знаменатель:

$$q=\frac{1}{1+x^2}.$$

Сумма бесконечной геометрической прогрессии равна

$$S=\frac{a_1}{1-q}.$$

Тогда

$$y=\frac{x^2}{1-\frac{1}{1+x^2}}=\frac{x^2}{\frac{x^2}{1+x^2}}=1+x^2.$$

Но исходное выражение задано при $$x\ne 0$$, поэтому получаем

$$y=x^2+1,\quad x\ne 0.$$

График — парабола $$y=x^2+1$$ с вершиной в точке $$\left(0;1\right)$$, при этом точка $$\left(0;1\right)$$ не принадлежит графику, так как $$x\ne 0$$. Значит, на графике нужно выколоть эту точку.

Ответ

$$y=x^2+1,\quad x\ne 0.$$