Упр.920 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

Постройте график функции $$y=x^2+\frac{x^2}{1+x^2}+\frac{x^2}{(1+x^2)^2}+\dots,\quad x\ne0.$$

Данная функция задана бесконечной геометрической прогрессией:

$$y=x^2+\frac{x^2}{1+x^2}+\frac{x^2}{(1+x^2)^2}+\cdots$$

Первый член прогрессии:

$$a_1=x^2,$$

знаменатель:

$$q=\frac{1}{1+x^2}.$$

Сумма бесконечной геометрической прогрессии равна

$$S=\frac{a_1}{1-q}.$$

Тогда

$$y=\frac{x^2}{1-\frac{1}{1+x^2}}=\frac{x^2}{\frac{x^2}{1+x^2}}=1+x^2.$$

Но исходное выражение задано при $$x\ne 0$$, поэтому получаем

$$y=x^2+1,\quad x\ne 0.$$

График — парабола $$y=x^2+1$$ с вершиной в точке $$\left(0;1\right)$$, при этом точка $$\left(0;1\right)$$ не принадлежит графику, так как $$x\ne 0$$. Значит, на графике нужно выколоть эту точку.

Ответ

$$y=x^2+1,\quad x\ne 0.$$