Упр.92 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

1) 6x+14y; 2) 28y-12x; 3) y/x. Равносильны ли уравнения:
1) 4х + 6 = 2х — 3 и 4х + 3 = 2х — 6;
2) 8х — 4 = 0 и 2х — 1 = 0;
3) х^2 + 2х — 3 = 0 и х^2 + х = 3 — х;
4) (x^2 — 1)/(x + 1) = 0 и х^2 — 1 = 0;
5) (x^2 — 1)/(x + 1) = 0 и х — 1 = 0;
6) x^2 + 1 = 0 и 0х = 5?

1) Так как $$\frac13<x<\frac12$$ и $$\frac17<y<\frac14,$$ то

$$2<6x<3,$$
$$2<14y<3{,}5.$$
Складываем неравенства:
$$4<6x+14y<6{,}5.$$

2) Умножим данные неравенства на положительные числа:
$$4<12x<6,$$
$$4<28y<7.$$
Тогда
$$4-6<28y-12x<7-4,$$
то есть
$$-2<28y-12x<3.$$

3) Из $$\frac13<x<\frac12$$ получаем
$$2<\frac1x<3.$$
Из $$\frac17<y<\frac14$$ получаем
$$4<\frac1y<7,$$
значит
$$\frac17<\frac1y<\frac14.$$
Тогда
$$\frac{2}{7}<\frac{y}{x}<\frac34.$$

Проверим равносильность уравнений.

1. $$4x+6=2x-3 \quad \text{и} \quad 4x+3=2x-6.$$
   Первое уравнение:
   $$4x+6=2x-3 \Rightarrow 2x=-9 \Rightarrow x=-4{,}5.$$
   Второе уравнение:
   $$4x+3=2x-6 \Rightarrow 2x=-9 \Rightarrow x=-4{,}5.$$
   Корни совпадают, уравнения равносильны.

2. $$8x-4=0 \quad \text{и} \quad 2x-1=0.$$
   Первое уравнение:
   $$8x=4 \Rightarrow x=0{,}5.$$
   Второе уравнение:
   $$2x=1 \Rightarrow x=0{,}5.$$
   Корни совпадают, уравнения равносильны.

3. $$x^2+2x-3=0 \quad \text{и} \quad x^2+x=3-x.$$
   Второе уравнение преобразуем:
   $$x^2+x=3-x \Rightarrow x^2+2x-3=0.$$
   Уравнения равносильны.

4. $$\frac{x^2-1}{x+1}=0 \quad \text{и} \quad x^2-1=0.$$
   Первое уравнение:
   $$\frac{(x-1)(x+1)}{x+1}=0,$$
   при этом $$x\ne -1,$$ значит
   $$x-1=0 \Rightarrow x=1.$$
   Второе уравнение:
   $$x^2-1=0 \Rightarrow x=\pm1.$$
   Уравнения неравносильны.

5. $$\frac{x^2-1}{x+1}=0 \quad \text{и} \quad x-1=0.$$
   Первое уравнение, с учётом $$x\ne -1,$$ даёт
   $$\frac{(x-1)(x+1)}{x+1}=0 \Rightarrow x-1=0 \Rightarrow x=1.$$
   Второе уравнение:
   $$x-1=0 \Rightarrow x=1.$$
   Уравнения равносильны.

6. $$x^2+1=0 \quad \text{и} \quad 0x=5.$$
   Первое уравнение не имеет корней, второе уравнение тоже не имеет корней. Следовательно, уравнения равносильны.

Ответ

1) $$4<6x+14y<6{,}5$$;
2) $$-2<28y-12x<3$$;
3) $$\frac{2}{7}<\frac{y}{x}<\frac34$$.
Уравнения: 1) равносильны; 2) равносильны; 3) равносильны; 4) неравносильны; 5) равносильны; 6) равносильны.