Упр.919 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

Найдите сумму:
1) периметров всех квадратов;
2) площадей квадратов;
3) длин окружностей;
4) площадей кругов, ограниченных данными окружностями.

Обозначим сторону первого квадрата через $$a$$. Тогда радиус первой вписанной окружности равен

$$r_1=\frac{a}{2}.$$

Сторона квадрата, вписанного в эту окружность, равна

$$a_1=\sqrt{2}\,r_1=\sqrt{2}\cdot \frac{a}{2}=\frac{a}{\sqrt{2}}.$$

Далее сторона каждого следующего квадрата уменьшается в $$\sqrt{2}$$ раз, значит, соответствующие периметры, площади, длины окружностей и площади кругов образуют бесконечные геометрические прогрессии.

1. Периметры квадратов:

   $$P_1=4a,\qquad q=\frac{1}{\sqrt{2}}.$$

   Тогда

   $$S=\frac{P_1}{1-q}=\frac{4a}{1-\frac{1}{\sqrt{2}}}=4a(2+\sqrt{2}).$$

2. Площади квадратов:

   $$S_1=a^2,\qquad q=\frac{1}{2}.$$

   Следовательно,

   $$S=\frac{S_1}{1-q}=\frac{a^2}{1-\frac{1}{2}}=2a^2.$$

3. Длины окружностей:

   $$L_1=2\pi r_1=\pi a,\qquad q=\frac{1}{\sqrt{2}}.$$

   Тогда

   $$S=\frac{L_1}{1-q}=\frac{\pi a}{1-\frac{1}{\sqrt{2}}}=\pi a(2+\sqrt{2}).$$

4. Площади кругов:

   $$S_1=\pi r_1^2=\frac{\pi a^2}{4},\qquad q=\frac{1}{2}.$$

   Следовательно,

   $$S=\frac{S_1}{1-q}=\frac{\frac{\pi a^2}{4}}{1-\frac{1}{2}}=\frac{\pi a^2}{2}.$$

Ответ

1) $$4a(2+\sqrt{2})$$; 2) $$2a^2$$; 3) $$\pi a(2+\sqrt{2})$$; 4) $$\frac{\pi a^2}{2}$$.