Упр.917 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

Найдите сумму площадей всех квадратов.

Площади вписанных квадратов образуют геометрическую прогрессию.

Пусть площадь первого квадрата равна $$S_1=a^2.$$

Так как вершины следующего квадрата — середины сторон предыдущего, его сторона уменьшается в $$\sqrt{2}$$ раза, значит площадь уменьшается в $$2$$ раза:

$$S_2=\frac{a^2}{2}, \quad S_3=\frac{a^2}{4}, \quad \ldots$$

Следовательно, это геометрическая прогрессия с первым членом $$S_1=a^2$$ и знаменателем $$q=\frac12.$$

Сумма всех площадей бесконечной геометрической прогрессии:

$$S=\frac{S_1}{1-q}=\frac{a^2}{1-\frac12}=\frac{a^2}{\frac12}=2a^2.$$

Ответ

$$2a^2$$