Упр.916 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

1. Найдите знаменатель бесконечной геометрической прогрессии, сумма двух первых членов которой в 8 раз больше суммы остальных её членов.

Пусть $$b_1$$ — первый член геометрической прогрессии, $$q$$ — её знаменатель. Тогда

$$S=\frac{b_1}{1-q}, \qquad S_2=b_1+b_2=b_1+b_1q=b_1(1+q).$$

Сумма остальных членов равна

$$S-S_2=\frac{b_1}{1-q}-b_1(1+q).$$

По условию задачи

$$S_2=8(S-S_2).$$

Подставим выражения:

$$b_1(1+q)=8\left(\frac{b_1}{1-q}-b_1(1+q)\right).$$

Так как $$b_1\neq 0$$, разделим на $$b_1$$:

$$1+q=8\left(\frac{1}{1-q}-(1+q)\right).$$

Умножим на $$1-q$$:

$$(1+q)(1-q)=8\bigl(1-(1+q)(1-q)\bigr).$$

$$1-q^2=8q^2.$$

$$1=9q^2,$$

$$q^2=\frac{1}{9}.$$

Следовательно,

$$q=\pm \frac{1}{3}.$$

Ответ

$$q=\pm \frac{1}{3}$$