Упр.915 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Просвещение: Найдите знаменатель бесконечной геометрической прогрессии, первый член которой в 1,5 раза больше суммы остальных её членов.

Пусть $$b_1$$ — первый член бесконечной геометрической прогрессии, $$q$$ — её знаменатель. Тогда сумма всех членов прогрессии равна

$$S=\frac{b_1}{1-q}.$$

Сумма остальных членов, кроме первого, равна

$$S-b_1=\frac{b_1}{1-q}-b_1=\frac{b_1q}{1-q}.$$

По условию первый член в $$1{,}5$$ раза больше суммы остальных:

$$b_1=1{,}5\left(S-b_1\right).$$

Подставим выражение для суммы остальных членов:

$$b_1=1{,}5\cdot \frac{b_1q}{1-q}.$$

Так как $$b_1\neq 0$$, сократим на $$b_1$$:

$$1=1{,}5\cdot \frac{q}{1-q}.$$

Умножим на $$1-q$$:

$$1-q=1{,}5q.$$

$$1=2{,}5q.$$

$$q=\frac{1}{2{,}5}=\frac{2}{5}.$$

Ответ

$$\frac{2}{5}$$