Упр.914 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Просвещение: Решите уравнение 1 — х^2 + х^4 — … = 16/17, если |х| < 1.

Левая часть уравнения представляет собой сумму бесконечной геометрической прогрессии:

$$1-x^2+x^4-\dots$$

Здесь первый член $$b_1=1$$, а знаменатель прогрессии $$q=-x^2$$. Так как $$|x|<1$$, то $$|q|<1$$, и сумма существует.

Используем формулу суммы бесконечной геометрической прогрессии:

$$S=\frac{b_1}{1-q}=\frac{1}{1-(-x^2)}=\frac{1}{1+x^2}.$$

По условию:

$$\frac{1}{1+x^2}=\frac{16}{17}.$$

Решим уравнение:

$$ 17=16(1+x^2) \\ 17=16+16x^2 \\ 16x^2=1 \\ x^2=\frac{1}{16} \\ x=\pm \frac{1}{4}. $$

Оба значения удовлетворяют условию $$|x|<1$$.

Ответ

$$x=\pm \frac{1}{4}$$