Упр.913 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

1. Решите уравнение: 1) $$1+x+x^2+\ldots=4$$, если $$|x|<1$$; 2) $$1-\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}-\ldots=1{,}5$$, если $$|x|>1$$.

1) Левая часть — сумма бесконечной геометрической прогрессии с первым членом $$b_1=1$$ и знаменателем $$q=x$$. При $$|x|<1$$

$$S=\frac{b_1}{1-q}=\frac{1}{1-x}.$$

Тогда

$$\frac{1}{1-x}=4,$$

$$1=4(1-x),$$

$$1=4-4x,$$

$$4x=3,$$

$$x=\frac{3}{4}.$$

2) Левая часть — сумма бесконечной геометрической прогрессии с первым членом $$b_1=1$$ и знаменателем $$q=-\frac{1}{x}$$. При $$|x|>1$$

$$S=\frac{1}{1-\left(-\frac{1}{x}\right)}=\frac{1}{1+\frac{1}{x}}=\frac{x}{x+1}.$$

Тогда

$$\frac{x}{x+1}=1{,}5=\frac{3}{2},$$

$$2x=3(x+1),$$

$$2x=3x+3,$$

$$x=-3.$$

Проверка области допустимых значений: $$\left|\frac{3}{4}\right|<1$$ и $$|-3|>1,$$ значит оба ответа подходят.

Ответ

1) $$x=\frac{3}{4}$$; 2) $$x=-3$$.