Упр.912 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии $$(c_n)$$, если $$c_3c_5=20$$ и $$c_2+c_4=12\sqrt{5}$$.

Пусть $$c_1$$ — первый член, $$q$$ — знаменатель геометрической прогрессии. Тогда

$$c_3=c_1q^2,\quad c_4=c_1q^3,\quad c_5=c_1q^4.$$

Из условия получаем систему:

$$\begin{cases} c_3c_5=20,\\ c_2+c_4=12\sqrt5. \end{cases}$$

Подставим формулы членов прогрессии:

$$\begin{cases} (c_1q^2)(c_1q^4)=20,\\ c_1q+c_1q^3=12\sqrt5. \end{cases}$$

То есть

$$\begin{cases} c_1^2q^6=20,\\ c_1q(1+q^2)=12\sqrt5. \end{cases}$$

Из первого уравнения:

$$c_1q^3=\pm 2\sqrt5.$$

Тогда из второго:

$$\frac{1+q^2}{q^2}\cdot c_1q^3=12\sqrt5.$$

Если $$c_1q^3=2\sqrt5$$, то

$$\frac{1+q^2}{q^2}\cdot 2\sqrt5=12\sqrt5,$$

откуда

$$\frac{1+q^2}{q^2}=6,\quad 1+q^2=6q^2,\quad 5q^2=1,\quad q^2=\frac15.$$

Значит, $$q=\pm \frac1{\sqrt5}$$.

При $$q=\frac1{\sqrt5}$$:

$$c_1\left(\frac1{\sqrt5}\right)^3=2\sqrt5, \quad c_1\cdot \frac1{5\sqrt5}=2\sqrt5, \quad c_1=50.$$

Сумма бесконечной геометрической прогрессии:

$$S=\frac{c_1}{1-q}=\frac{50}{1-\frac1{\sqrt5}} =\frac{25(\sqrt5+5)}{2}.$$

При $$q=-\frac1{\sqrt5}$$:

$$c_1\left(-\frac1{\sqrt5}\right)^3=2\sqrt5, \quad c_1=-50.$$

Тогда

$$S=\frac{c_1}{1-q}=\frac{-50}{1+\frac1{\sqrt5}} =\frac{25(\sqrt5-5)}{2}.$$

Итак, возможны два значения суммы:

$$S=\frac{25(\sqrt5+5)}{2}\quad \text{или}\quad S=\frac{25(\sqrt5-5)}{2}.$$

Ответ

$$\frac{25(\sqrt5+5)}{2}\ \text{или}\ \frac{25(\sqrt5-5)}{2}$$