Упр.911 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Просвещение: Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии (bn), если b2 b4 = 36 и b3 + b5 = 8.

Пусть $$b_n=b_1q^{\,n-1}$$ — геометрическая прогрессия. Тогда

$$b_2=b_1q,\quad b_3=b_1q^2,\quad b_4=b_1q^3,\quad b_5=b_1q^4.$$

По условию:

$$b_2b_4=36,\qquad b_3+b_5=8.$$

Подставим формулы членов прогрессии:

$$b_1q\cdot b_1q^3=36,$$
$$b_1q^2+b_1q^4=8.$$

Получаем систему:

$$ \begin{cases} b_1^2q^4=36,\\ b_1q^2(1+q^2)=8. \end{cases} $$

Из первого уравнения:

$$b_1q^2=\pm 6.$$

Рассмотрим случай $$b_1q^2=6$$. Тогда из второго уравнения:

$$6(1+q^2)=8,$$
$$1+q^2=\frac{4}{3},$$
$$q^2=\frac{1}{3},$$
$$q=\pm \frac{1}{\sqrt{3}}.$$

Найдём первый член:

$$b_1=\frac{6}{q^2}=18.$$

Сумма бесконечной геометрической прогрессии:

$$S=\frac{b_1}{1-q}.$$

При $$q=\frac{1}{\sqrt{3}}$$:

$$ S=\frac{18}{1-\frac{1}{\sqrt{3}}} =\frac{18\sqrt{3}}{\sqrt{3}-1} =\frac{18\sqrt{3}(\sqrt{3}+1)}{3-1} =27+9\sqrt{3}. $$

При $$q=-\frac{1}{\sqrt{3}}$$:

$$ S=\frac{18}{1+\frac{1}{\sqrt{3}}} =\frac{18\sqrt{3}}{\sqrt{3}+1} =\frac{18\sqrt{3}(\sqrt{3}-1)}{3-1} =27-9\sqrt{3}. $$

Следовательно, возможны два значения суммы.

Ответ

$$27\pm 9\sqrt{3}$$