Упр.909 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Просвещение: Сумма бесконечной геометрической прогрессии равна 2, а сумма четырёх её первых членов равна 1 7/8. Найдите первый член и знаменатель этой прогрессии.

Для бесконечной геометрической прогрессии при $$|q|<1$$ сумма равна

$$S=\frac{b_1}{1-q}.$$

По условию $$S=2$$, значит

$$\frac{b_1}{1-q}=2,$$

откуда

$$b_1=2(1-q).$$

Сумма первых четырёх членов:

$$S_4=\frac{b_1(1-q^4)}{1-q}.$$

Так как $$S_4=1\frac{7}{8}=\frac{15}{8},$$ получаем

$$\frac{b_1(1-q^4)}{1-q}=\frac{15}{8}.$$

Подставим $$b_1=2(1-q)$$:

$$2(1-q)\cdot \frac{1-q^4}{1-q}=\frac{15}{8},$$

$$2(1-q^4)=\frac{15}{8},$$

$$1-q^4=\frac{15}{16},$$

$$q^4=\frac{1}{16}.$$

Тогда

$$q=\pm \frac{1}{2}.$$

Найдём первый член:

при $$q=\frac{1}{2}$$

$$b_1=2\left(1-\frac{1}{2}\right)=1;$$

при $$q=-\frac{1}{2}$$

$$b_1=2\left(1+\frac{1}{2}\right)=3.$$

Ответ

$$b_1=1,\ q=\frac{1}{2}$$ или $$b_1=3,\ q=-\frac{1}{2}.$$